10.2 Типові нелінійні елементи систем керування

Структура і рівняння нелінійної автоматичної системи в загальному випадку можуть бути дуже складними. Ступінь складності залежить від кількості, вигляду і місця включення нелінійних елементів. Проте більшість реальних систем містить один істотно нелінійний елемент. Лінійна частина включає всі лінійні ланки системи і може мати структуру будь-якої складності, зокрема, містить внутрішні зворотні зв'язки. Як вже наголошувалося вище, нелінійні властивості системи визначаються наявністю в ній статичних нелинейностей, тобто нелінійна частина, утворена одним нелінійним елементом, має вихідну змінну уне, яка в найбільш загальному випадку виражається як функція вхідної величини х і її похідній х':

(10.1)

Простішими нелінійними елементами є статичні нелінійності, у яких вихідна змінна залежить тільки від вхідної змінної, причому, ця залежність строго однозначна: . Такі нелінійності називаються типовими, для них записується статична характеристика і розглядається перетворення ними гармонійного сигналу . Найчастіше зустрічаються наступні типові нелінійності.

1 Підсилювальна ланка із зоною нечутливості.

Статична характеристика цієї ланки представлена на рис. 10.4, а.

Такими характеристиками володіють деякі схеми електронних, магнітних і гідравлічних підсилювачів в області малих вхідних сигналів. Простою механічною моделлю зони нечутливості є система з'єднання двох валів з пружинним поверненням веденого валу в нейтральне положення за наявності ділянки вільного ходу в системі передачі (рис. 10.4, г).

Статична характеристика ланки (рис. 10.4, а) виражається наступними рівняннями

(10.2)

Рис. 10.4 Ланка із зоною нечутливості:

а - статична характеристика; б - проходження гармонійного сигналу; в - вхідний сигнал; г - механічна модель

При подачі на вхід ланки гармонійного сигналу (рис.10.4, в) з амплітудою A<а, на виході ланки сигналу не буде, оскільки зміна не перевищує величини зони нечутливості. Якщо ж на вхід подати сигнал (рис. 10.4, в) з амплітудою А>а, то на виході спостерігатиметься періодичний сигнал (рис. 10.4, б), який може бути побудований по рис.10.4, а, в, як третя проекція. Якщо , то , якщо , то вихідний сигнал співпадає з верхньою частиною вхідного сигналу . В результаті на виході підсилювальної ланки із зоною нечутливості буде вихідний сигнал, відмінний від гармонійного формою і що є ділянки з нульовим сигналом і сигналом, відмінним від нуля.

2 Підсилювальна ланка з обмеженням амплітуди.

Цю ланку називають також нелінійною ланкою із зоною насичення. Статична характеристика зображена на рис. 10.5, а і записується у вигляді

= (10.3)

Рис. 10.5 Підсилювальна ланка з обмеженням амплітуди:

а - статична характеристика; б - проходження гармонійного сигналу;

в - вхідний сигнал; г - механічна модель

Подібними характеристиками володіють практично всі реальні підсилювачі, обмежені по потужності в області великих вхідних сигналів.

Механічною моделлю ланки є система з'єднання двох валів через пружну пружину за наявності обмежень або упорів в системі ведомого валу (рис. 10.5, г).

При подачі на вхід ланки гармонійного сигналу з амплітудою А<а (менше зони насичення) (рис. 10.5, в) на виході ланки буде також гармонійний сигнал, оскільки в цьому випадку ланка працює як лінійна (рис. 10.5, б). Якщо амплітуда вхідного сигналу більша, ніж зона насичення (А>а), то досягши її, тобто як тільки , на виході ланки встановиться значення і зберігатиметься до тих пір, поки . Якщо ж значення вхідного сигналу досягне значення то на виході значення вихідного сигналу встановиться рівним і зберігатиметься, поки в діапазоні . Нелінійний елемент має статичну характеристику і, отже, в цьому випадку через нього пройдуть окремі ділянки вхідного гармонійного сигналу. В результаті на виході підсилювальної ланки із зоною насичення встановиться періодичний вихідний сигнал що формою нагадує трапеції, бокові сторони яких викривлені по синусоїді.

3 Двопозиційне реле.

Статична характеристика ланки представлена на рис. 10.6, а і записується як

(10.4)

Рис. 10.6 Двопозиційне реле:

а - статична характеристика;

б - проходження гармонійного сигналу; в - вхідний сигнал

Двопозиційним реле є самостійний нелінійний фізично реалізований елемент, який використовується в різних схемах сигналізації, а також для пристроїв спеціального типу, які використовуються для форсування управляючого сигналу при великих розбіжностях між змінною і завданням.

При подачі на вхід ланки гармонійного сигналу x(t) (рис. 10.6, в) на його виході встановляться прямокутні коливання, амплітуда яких буде В при х > 0 і -Впри х <0.

Вимушені коливання на виході двопозиційного реле представлені на рис. 10.6, б.

4 Двопозиційне реле із зоною повернення.

Однозначні релейні характеристики відповідають деякій ідеалізації реальної системи. Насправді зазвичай величина вхідного сигналу, при якому відбувається стрибок вихідної величини уне, буває різною для перемикання контакту в прямому і зворотному напрямах. Статична характеристика двопозиційного реле із зоною повернення представлена на рис. 10.7, а і математично виражається таким чином

(10.5)

На ділянці величина має два значення В або -Взалежно від попередніх значень х. Умови стрибка при переході з нижньої гілки на верхню виражається таким чином: , , . Аналогічно записуються умови стрибкоподібного переходу з верхньої гілки на нижню: , , .

При подачі на вхід ланки гармонійного сигналу (рис. 10.7, в) на виході ланки спостерігаються прямокутні коливання з амплітудою, рівною В (рис. 10.7, б). Стрибкоподібний перехід з +В на -В відбувається у момент часу, коли , а з -Вна +В, коли . Властивостями подібного релейного елементу володіють підсилювачі із зоною насичення, охоплені позитивним зворотним зв'язком. Така нелінійна характеристика типова для двопозиційних перемикальних елементів, наприклад, електромагнітних реле.

Рис. 10.7 Двопозиційне реле із зоною повернення:

а - статична характеристика; б - проходження гармонійного сигналу;

в - вхідний сигнал

5 Підсилювальна ланка із зоною застою (ланка типу люфт).

Нелінійність такого вигляду найчастіше зустрічається в механічних системах і пов'язана з наявністю зазорів або з сухим тертям в системі передачі. Якщо в механічній моделі ланки із зоною нечутливості (рис. 10.8, г) прибрати пружину, яка прагне повернути ведомий вал в нульове положення, то вийде модель нелінійності типу люфт (рис. 10.8, г). Залежність між положенням ведучого х і ведомого уневалів неоднозначна.

Рис. 10.8 Ланка типу люфт:

а - статична характеристика; б - вхідний сигнал;

в - проходження гармонійного сигналу; г - механічна модель

Статична характеристика, що виражає цю залежність, представлена на рис. 10.8, а. Аналітично характеристика ланки типу люфт записується таким чином:

(10.6)

В цьому випадку статична характеристика має гістерезисний вигляд і залежить не тільки від значення х(t), але і від знаку швидкості зміни уне.

При подачі на вхід гармонійного сигналу х(t) (рис. 10.8, б) на виході нелінійного елементу спостерігатиметься деякий періодичний процес, представлений на рис. 10.8, в, для якого характерною є поява ділянок "зависання" уне, тобто на них зміни унене відбувається за рахунок наявності сухого тертя в золотнику. Проте, вихідний сигнал унене затримується в зоні спокою в області нульових значень. Це означає також, що поки вхідна координата не зміниться настільки, щоб вона перевищила значення 2а, вихідна змінна не змінюватиметься. Тому при зміні напряму дії вихідна змінна почне змінюватися лише тоді, коли значення вхідної змінної зміниться на величину, рівну подвоєному параметру а (параметр а характеризує, наприклад, сухе тертя).

6 Трипозиційне реле із зоною нечутливості і зоною повернення.

Нелінійності такого типу часто зустрічаються в системах автоматичного регулювання, особливо, коли елементом, що управляє включенням і виключенням допоміжної енергії, є електричне реле, наприклад, електричний сервомотор, керований за допомогою реле.

Статична характеристика є релейною характеристикою, відмітною особливістю якої є те, що вихідна змінна змінюється стрибком залежно від зміни вхідного сигналу і може приймати одне з трьох значень: В, 0, -В. Ця характеристика зображена на рис. 10.9, а і є яскравим прикладом істотно нелінійної функції. Тут можна виділити три типові зони нелінійності: зону нечутливості, ділянки неоднозначності і ділянки насичення.

Рис. 10.9 Трипозиційне реле із зоною нечутливості:

а - статична характеристика; б - вхідний сигнал;

в - проходження гармонійного сигналу; г — електрична схема

Зона нечутливості визначається величиною струму спрацьовування реле. Ділянки неоднозначності представляють петлі, що утворюються вертикальними і горизонтальними ділянками характеристики, а ділянки насичення визначаються релейним характером включення енергії.

Математичний запис статичної характеристики трипозиційного реле із зоною нечутливості виглядає таким чином:

В, 0, -В (10.7)

В цьому випадку перехід від уне = 0 до уне = В відбувається при х = а, а повернення - при х = b.

Подібна статична характеристика може бути отримана при обхваті підсилювача із зоною нечутливості і обмеженням позитивного зворотнього зв'язку. Для її отримання може бути застосована електрична схема (рис. 10.9, г), що складається з двох електромагнітних реле і , включених через вентилі і . Контакти реле і замикають ланцюг між джерелом живлення і напругою В вихідними затискачами так, що залежно від значення х напруга z на затисках приймає значення -В, 0, В відповідно до характеристики (рис. 10.9, а).

При подачі на вхід даного нелінійного елементу гармонійного сигналу (рис. 10.9, б) на виході спостерігається періодичний процес, що є чергуванням ділянок нечутливості і прямокутних імпульсів амплітудою В або -В. Перемикання реле з В на -Ві навпаки з -Вна В відбувається з деяким запізнюванням через різні значення струмів спрацьовування і відпуском реле.