10.1 Особливості нелінійних систем

У системах автоматичного управління розрізняють два види нелинейностей: статичні і динамічні.

Статичні нелінійності - це нелінійності статичних характеристик (рис. 10.1). Вихідна змінна статичних нелінійних ланок в кожен момент часу залежить тільки від значень вхідної змінної в той же момент часу і не залежить від того, як ця вхідна змінна змінювалася до даного моменту часу. Таким чином, вхід і вихід нелінійної ланки (мал. 10.1, а) зв'язані між собою нелінійною статичною характеристикою y = f(x).

Рис. 10.1 Статичні характеристики нелінійних елементів:

а - структурна схема нелінійного елементу; б, в – безперервні однозначні статичні характеристики; г - релейна однозадачна характеристика; д, е — гістерезисні статичні характеристики;ж - випереджаюча статична характеристика

Динамічні нелінійності - це нелінійності диференціальних рівнянь, що описують ланку, наприклад ,

У найбільш поширених випадках нелінійні властивості системи в основному визначаються наявністю в системі статичних нелинейностей. Тому даний клас нелінійних систем обмежимо нелинейностями тільки статичного вигляду.

Розрізняють істотні і слабкі статичні нелінійності. Нелінійність вважається слабкою, якщо вона може бути замінена лінійним елементом без зміни принципових особливостей системи, причому процеси в такій лінеаризованій системі якісно не повинні відрізнятися від процесів в реальній системі. Нелінійність є істотною, якщо подібна заміна неможлива. В цьому випадку нелінійні статичні характеристики є розривними або близькими до розривних функціями, найчастіше вони представляються у вигляді кусочно-лінійних функцій, і процеси в лінеаризованій і реальній системах сильно відрізняються.

Автоматичні системи з істотними нелинейностями володіють рядом принципових особливостей, які не властиві лінійним системам і не можуть бути виявлені при дослідженні лінеаризованого рівняння системи. Головні особливості цих систем витікають з їх непокори принципу суперпозиції:

1. Коливання перехідного процесу в нелінійних системах можуть відрізнятися від вхідного гармонійного сигналу, як формою, так і по частоті. Наприклад, для нелінійного елементу із статичною характеристикою при подачі на нього вхідного сигналу вихідні коливання не є гармонійними, вони мають абсолютно іншу форму і період удвічі менший, ніж період вхідних коливань (рис. 10.2).

Рис. 10.2 Ілюстрація відмінності вимушених коливань нелінійного елементу

від вхідного гармонійного сигналу:

а - статична характеристика; б - вихідний сигнал нелінійного елементу

У лінійних же системах при подачі на вхід гармонійного сигналу на виході отримуємо також гармонійний сигнал, але іншої амплітуди і зрушений по фазі.

2. Як відомо, в лінійних системах частотні характеристики не залежать від амплітуди вхідного сигналу і повністю визначаються властивостями системи.

У нелінійних системах такий апарат частотних характеристик не підходить. Тут частотні характеристики істотно залежать від амплітуди вхідного сигналу, тобто Якщо розглянути нелінійний елемент із статичною характеристикою, представленою на рис. 10.3, а, то цей елемент при малих амплітудах вхідного сигналу (А < В) поводиться як лінійний, а при великих амплітудах вхідного сигналу (А>В) вихідні коливання спотворюються (рис. 10.3,6).

Рис. 10.3 Залежність частотних характеристик від

амплітуди вхідного сигналу:

а - статична характеристика; б - вимушені коливання нелінійного елементу

3. У нелінійних системах умови стійкості залежать від величини зовнішньої дії: система стійка при одних значеннях дій і нестійка при інших його значеннях. Тут не можна говорити однозначно, стійка система чи ні.

Лінійна система, наприклад, , має один єдиний стан рівноваги .Нелінійна система, що описується рівнянням в загальному вигляді у динаміці, має багато станів рівноваги, визначуваних нелінійним рівнянням .

Для деяких нелінійних систем, що мають зону нечутливості, спостерігається континіум станів рівноваги. Таким чином, в нелінійних системах говорять тільки про стійкість конкретного стану рівноваги - стійке воно чи ні. Весь склад мислення міняється, оскільки при одних зовнішніх діях перехідною процес сходиться, а при інших розходиться. У зв'язку з цим для нелінійних систем застосовують поняття "Стійкість в малому", "стійкість у великому", "стійкість в цілому".

Система стійка в малому, якщо вона стійка тільки при малих початкових відхиленнях. Система стійка у великому, якщо вона стійка при великих початкових відхиленнях. Система стійка в цілому, якщо вона стійка при будь-яких початкових відхиленнях.

4. У нелінійних системах можуть існувати власні особливі рухи, що отримали назву автоколивань. Автоколивання - це стійкі власні коливання, що виникають із-за нелінійних властивостей системи за особливих умов. Режим автоколивань принципово відрізняється від коливань лінійної системи на межі стійкості. У лінійній системі щонайменші зміни її параметрів приводять до зміни коливального процесу, він стає або таким, що сходиться, або таким, що розходиться. Автоколивання є стійким режимом, якщо малі зміни параметрів системи не виводять її з цього режиму. Автоколивання можуть бути і не стійким режимом, якщо малі зміни параметрів системи виведуть її з цього режиму. Амплітуда коливань не залежить від початкових умов і рівня зовнішніх дій.

У загальному випадку автоколивання в нелінійних системах небажані, а іноді і недопустимі. Проте слід зазначити, що в деяких нелінійних системах автоколивання є основним робочим режимом.