Основні види стійкості нелінійних систем

Загальна теорія стійкості нелінійних систем була розвинена в роботах А. М. Ляпунова, ним вперше було введено поняття стійкості руху.

Будь-яка система автоматичного управління описується диференціальним рівнянням, вирішення якого у фазовому просторі дає траєкторію руху. Поняття стійкості руху сформульоване в розділі 6.4.

Рух може бути стійким і нестійким. У реальних системах нестійкі рухи не спостерігаються.

У розділі 6.5 сформульовані основні види стійкості і зокрема поняття стійкості по Ляпунову. Зупинимося ще раз на цьому визначенні.

Рух називається стійким по Ляпунову, якщо при будь-якому ε можна вказати число

η = η(ε)> 0 таке, що якщо при t = 0 з нерівності ||у0 - у*0||< η(ε)слідує нерівність ||у(t) - у*(t)||< ε для всіх tЄ Rt.

Сенс цього визначення полягає в тому, що рух стійкий, якщо при достатньо малому початковому зрушенні M*0від М0, точка М* в подальшому русі достатньо близька до М (рис. 12.1, а).

Рис. 12.1 До визначення стійкості руху:

а - по Ляпунову; б – асимптотично.

Якщо при русі в просторі точки М і М* необмежено зближуються, то траєкторія збуреного руху повертається на траєкторію незбуреного руху, і останнє називається асимптотично стійким (рис. 12.1, б).

Рух називається асимптотично стійким, якщо можна підібрати таке η, що якщо ||у0 - у*0||< η, то виконується умова ||у(t) - у*(t)||→0 при t→ ∞ .

Поняття асимптотичної стійкості вужче, ніж поняття стійкості по Ляпунову. Якщо рух асимптотично стійкий, то він напевно стійкий по Ляпунову. Зворотне твердження, взагалі кажучи, несправедливо, тобто рух може бути стійким по Ляпунову, але нестійким асимптотично.

При дослідженні стійкості нелінійних систем досліджують окремі види руху - стан рівноваги і автоколивання.

Стан рівноваги, за який приймають зазвичай тривіальне рішення у = 0, є стійким, якщо навколо початку координат існує область тяжіння траєкторій G (рис. 12.2, а).

В цьому випадку говорять, що стан рівноваги стійкий в "малому", тобто гарантують стійкість лише при достатньо малих відхиленнях. Іншими словами, якщо задати область допустимих відхилень ε, то від неї залежатиме область допустимих початкових умов η. Для стійкості системи досить, щоб рух зображаючої точки відбувався усередині цієї допустимої області відхилень (рис. 12.2, а). Якщо система не тільки не виходить за межі допустимої області, але і повертається до колишнього стану рівноваги, то така система є асимптотично стійкою.

Рис. 12.2 Ілюстрація стійкості:

а - в "малому"; б - в "великому".

Для визначення стійкості в "великому" необхідно задати область η1 можливих (наприклад,за технічними умовами) відхилень в даній системі. Якщо ця область η1 цілком лежить в області G, і при цьому виконується умова, що max|у0 - у*0| = η1, η1 <η,то стан рівноваги стійкий в "великому" (рис. 12.2, б).

Якщо область G розповсюджується на весь простір, то рівновага називається стійкою в "цілому".

Для дослідження стійкості в "малому", в "великому" і в "цілому" використовують спеціальні методи, які розглядаються нижче.