12.2.1 Перший метод Ляпунова

Перший метод Ляпунова дає відповідь про стійкість руху по першому наближенню за допомогою методів, заснованих на якісному аналізі диференціальних рівнянь збуреного руху, яким задовольняють відхилення збуреного руху від незбуреного:

Δу(t) = y(t)-y*(t),

де у(t)– збурений рух;

y*(t) - незбурений рух.

Якщо диференціальне рівняння руху має вигляд

то для виведення рівняння збуреного руху необхідно змінну у(t) = Δу(t) + y*(t) підставити у (12.1). Тоді

буде рівнянням у відхиленнях.

Якщо функція F в (12.2) допускає розкладання в ряд Тейлора по ступенях Δу, то виконавши це розкладання, отримують

)△

Якщо відхилення достатньо малі, то, нехтуючи членами в (12.3), залежними від них в ступені вище першої, враховуючи початкові умови і перепозначивши Δу(t) = y(t), отримують лінеаризоване рівняння, яке також називається лінеаризованим рівнянням першого наближення і записується у вигляді

Дослідження стійкості руху по рівняннях першого наближення пояснюється, з одного боку, простотою подібного підходу, з іншого боку, дослідження процесів, що відбуваються в реальних системах, часто дозволяють визначити тільки перші лінійні члени.

Але, проте, рівняння першого наближення не завжди дозволяють зробити правильний висновок про стійкість руху. Умови, що дозволяють дати правильні відповіді і вирішити важливу і принципову задачу теорії автоматичного управління про стійкість руху були сформульовані A. M. Ляпуновим і оформлені у вигляді трьох теорем, що іменуються першим методом Ляпунова.

Теорема 1.Якщо лінійна система першого наближення стійка, то відповідний стан рівноваги нелінійної системи також стійкий по Ляпунову.

Теорема 2.Якщо лінійна система першого наближення нестійка, то відповідний стан рівноваги нелінійної системи також нестійкий по Ляпунову.

Теорема 3.Якщо лінійна система першого наближення знаходиться на межі стійкості, то судити про стійкість початкової нелінійної системи по рівнянню першого наближення не можна. В цьому випадку необхідно розглядати початкову нелінійну систему.

Ці теореми дозволяють судити за наслідками дослідження рівнянь першого наближення про стійкість в "малому" стану рівноваги початкової нелінійної системи.

Як приклад розглянемо нелінійну систему другого порядку, яка описується системою двох диференціальних рівнянь першого порядку:

(12.5)

Предметом дослідження є визначення стійкості стану рівноваги (y10, y20), тобто характеру руху поблизу цього стану, який визначається як dy1(t)/dt =dy2(t)/dt=0 .

Згідно першому методу Ляпунова система диференціальних рівнянь (12.5) замінюється лінеаризованою системою першого наближення. Для цього, якщо функції Р(у1, y2), Q(y1, y2) є аналітичними, то їх розкладають в ряд Тейлора і отримують наступну систему рівнянь

(12.6)

де

C1, C2 — члени ступеня вище першого відносно у1, у2. Система першого наближення виходить з (12.6) відкиданням нелінійних членів С1,С2:

(12.7)

Система диференціальних рівнянь (12.7) є лінійною системою з постійними коефіцієнтами і досліджується на стійкість будь-якими відомими методами дослідження стійкості лінійних систем. Зокрема, характеристичне рівняння системи має вигляд

і, отже, характер стійкості рішення визначається коренями S1і S2цього рівняння. Якщо ці корені мають негативну дійсну частину, то система першого наближення стійка, отже, стійка і початкова нелінійна система. Якщо ж дійсна частина позитивна, то лінійна система нестійка і початкова нелінійна система нестійка. Якщо корені будуть чисто уявними, то лінійна система знаходиться на межі стійкості і сказати що-небудь конкретне щодо стійкості початкової нелінійної системи не можна, оскільки невідомо як поводяться відкинуті нелінійні члени. В цьому випадку необхідно розглядати систему другого наближення. Якщо ж дослідження цієї системи не дасть конкретної відповіді, то розглядається система третього наближення і т. д.

Перший метод Ляпунова можна використовувати і для дослідження стійкості руху. Якщо останнє описується диференціальним рівнянням (12.1), то для дослідження стійкості руху це рівняння необхідно лінеаризувати шляхом розкладання в ряд Тейлора в околиці досліджуваного руху y10(t), y20(t), ..., yn0(t), наприклад, таким рухом є гармонійний сигнал - синусоїда. В результаті лінеаризації отримують рівняння першого наближення, яке є лінійним рівнянням з коефіцієнтами, залежними від часу:

Приклад 12.1 Дослідити на стійкість систему автоматичного регулювання за допомогою першого методу Ляпунова, якщо вона описується наступною системою диференціальних рівнянь:

Раніше всього визначаються стани рівноваги з системи рівнянь dy1(t)/dt =dy2(t)/dt=0, тобто

Система має два стани рівноваги. Перше - y10 = 0, у20 = 0; друге - у10 - будь-яке, у20 = 1. Досліджуємо на стійкість перший стан рівноваги. Для цього лінеаризуємо початкову систему в околиці точки у10 = 0, у20 = 0 і отримаємо лінійну систему першого наближення

Характеристичне рівняння цієї системи: (S + l)2 =0, його корені S1 = S2 = -1 - негативні дійсні, отже, система першого наближення стійка. Стан рівноваги початкової нелінійної системи також стійкий і є особливою точкою типу стійкий вузол.