7.3.2 Частотні методи оцінки запасу стійкості

Серед частотних методів оцінки запасу стійкості, перш за все, виділяються методи, пов'язані з амплитудно-фазовою характеристикою розімкнутої системи. Це запас стійкості по модулю і запас стійкості по фазі.

Запас стійкості по модулювизначається як довжина відрізка d, рівного відстані від точки перетину АФХ розімкнутої системи з негативною дійсною піввісю до точки (-1. ) (рис. 7.6, а).

Рис. 7.6 Частотні методи:

а - запас стійкості по модулю; б - запас стійкості по фазі

Чисельно запас стійкості по модулю показує, на скільки повинен змінитися модуль АФХ розімкнутої системи, щоб система вийшла на межу стійкості.

Запас стійкості по фазі- це кут γ, який лежить між дійсною негативною піввісю і променем, що проведений з початку координат в точку перетину АФХ з одиничним колом з центром на початку координат (рис. 7.6, б).

Чисельно запас стійкості по фазі показує, на скільки повинне збільшитися відставання по фазі в розімкнутій системі при незмінному модулі АФХ, щоб система вийшла на межу стійкості. Як правило, ці показники використовують разом.

Для працездатності системи потрібний, щоб запаси стійкості по модулю і фазі були не менше деяких заданих величин: d> ; γ > .

Одним з основних частотних методів оцінки запасу стійкості є показник коливальності, який як би об'єднує запас стійкості по модулю і запас стійкості по фазі. Виявляється, що ступінь близькості замкнутої системи до межі стійкості можна визначити по величині максимуму амплітудно-частотної характеристики розімкнутої системи. Цей максимум і називається показником коливальності М, якщо М(0)= 1 (рис. 7.7).

Чим більше максимум має АЧХ замкнутої системи, тим ближче АФХ розімкнутої системи до точки (-1, ) і, отже, тим менше запас стійкості має система, як по модулю, так і по фазі. Як відомо, АФХ замкнутої системи визначається через АФХ розімкнутої системи таким чином

Рис. 7.7 АЧХ замкнутої системи

звідки АЧХ замкнутої системи, відповідно, рівна

Аналіз АФХ розімкнутої системи показує, що, як видно з рис. 7.8, її модуль рівний довжині відрізка ОВ, тобто

Вектор

визначається як різниця векторів ОА і ОВ, тобто

Отже,

Рис.7.8 Визначення поканика коливальності

Якщозмінюватичастоту від 0 до , то відношення ОВ/АВ спочатку зростає, а потім починає зменшуватися, отже, і АЧХ замкнутої системи спочатку буде зростатиме, а потім зменшуватися, тобто матиме максимум. Для того, щоб цей максимум мав задану величину, а, отже, був заданий показник коливальності, необхідно, щоб геометрично на площині АФХ розімкнутої системи відношення відрізків ОВ і АВ мало постійну величину (рис. 7.8):

Якщо показник коливальності заданий, то заданий запас стійкості (максимум АЧХ замкнутої системи не повинен перевищувати деякої заздалегідь заданої величини), що виражається геометрично в завданні на площині АФХ розімкнутої системи кола радіусом

з центром на негативній дійсній піввісі на відстані

яку не повинна перетинати амплитудно-фазова характеристика розімкнутої системи.