Доверительный интервал

Вследствие случайной природы радиоактивного распада результаты измерения всегда имеют некоторую неопределенность. Поэтому существует небольшая вероятность того, что значения параметров, оцениваемых из этих измерений, будут равны их истинным значениям. Доверительные уровни определяют интервалы или диапазоны вокруг измеряемой величины, в пределах которой с разумной вероятностью находится истинное значение параметра. Для случайных переменных, имеющих гуссовское распределение вероятностей, доверительные интервалы обычно фиксируются в пределах ±2 (95 %-ая степень доверия) или ±3 (99,7 %-ая степень доверия) стандартных отклонения. Так 95 % доверительные интервалы для разности скоростей счета, рассмотренных в предыдущем разделе, будут следующие:

для 10-с измерения;

для 36-с измерения;

для 1-с измерения.

Отметим, что 0 не попадает в 95 %-ный доверительный интервал для 10 и 36 секундных измерений. Это согласуется с отбрасыванием нулевой гипотезы при 0,05 уровне значимости.

2. Тест

Тест хи-квадрат (χ²) является вероятностной статистикой, которая применяется к арифметическим операциям, включающим суммирование квадратов разностей. Выражение для хи-квадрат следующее:

(2.25)

где x_i – i-измеряемая величина; x_expected,i –значение, ожидаемое при каждом измерении на основании некоторой модели; σ_i – стандартное отклонение при i-измерении.

Статистика (критерий) χ² используется для тестирования гипотез и подгонки кривых. Простой χ²-тест можно применить для определения, являются ли наблюдаемые статистические флуктуации результатов измерений разумными? Или, другими словами, обусловлены ли статистические вариации в ряде измерений статистической случайностью или вариацией других объектов, таких как оборудование, пациент и т.п.? Если проведена серия идентичных измерений числа отсчетов, то χ² рассчитывается из выражения

(2.26)

где m – среднее значение в серии.

Так как данные счета имеют пуассоновское распределение, то m является не только оценкой ожидаемого значения случайной величины (количества отсчетов), но также и оценкой σ_i². Используя уравнение (2.21), приходим к следующей формуле:

(2.27)

Преобразуя (2.26) и (2.27), получаем

(2.28)

Если счетчик работает правильно, то следует ожидать, что SD² будет близко к m. Отсюда получаем, что χ² должно быть близко к числу измерений (размеру выборки) минус единица (N-1), которую принято называть "число степеней свободы". Вероятность получения различных значений χ² табулирована в зависимости от числа степеней свободы и в кратком виде приводится в табл. 2.4.

Если статистические флуктуации соответствуют ожидаемым значениям, то χ² будет близко к N-1 и будет иметь вероятность близкую к 0,5. В типовых ситуациях принимаются значения χ², которые оказываются в диапазоне вероятностей от 0,1 до 0,9. Если вероятность, связанная со значением χ², оказывается вне данного диапазона, то этот факт служит указанием "что-то неладно со счетчиком".

Таблица 2.4