3.2.2. Метод преобразований Фурье

Метод преобразований Фурье частично рассматривался в главе 5 применительно к получению плоскостных изображений. Будет полезно еще раз вернуться к обсуждению его особенностей применительно к ОФЭКТ.

Данные ЯМ, полученные в пространственном домене (рис. 7.13,а), могут быть выражены в частотном домене как сумма рядов синусоидальных волн разной амплитуды, пространственной частоты и фазовых сдвигов (рис. 7.13,б). Таким образом, данные каждой строки и каждого столбца матрицы набора возможно представить в виде подобной суммы. Процесс определения амплитуд синусоидальных волн называется преобразование Фурье, а процесс преобразования из частотного домена в пространственный называется обратным преобразованием Фурье.

Рис. 7.13. Представление объекта в пространственном и частотном доменах [8]

Реконструкция изображений методом Фурье может проводиться двумя способами: или непосредственно, или используя фильтрацию. В прямом подходе преобразования Фурье отдельных набранных проекций выполняются в полярной системе координат частотного домена. Полученные результаты затем используются для расчета значений в декартовой системе координат. К последним для получения изображения применяется уже обратное преобразование Фурье. Такой способ не есть, строго говоря, обратное проецирование и редко используется для реконструкции изображений из-за большой трудоемкости.

Более удобным способом реконструкции является фильтрованное обратное проецирование, используя метод Фурье (ФОПФ, англ. FBP). В этом случае для устранения размытия, описываемого функцией 1/r, которое возникает при простом обратном проецировании, применяется фильтрация. Фильтрация выполняет модуляцию амплитуд разных частот, сохраняя широкие структуры изображения, представляемые низкими частотами, и уменьшая амплитуду или совсем устраняя мелкие структуры, представляемые высокими частотами. Если обозначить двумерное преобразование Фурье функции f(x,y) (см. формулу (7.4)) через F(ν_x,ν_y), а функцию пропускания фильтра через H(ν), то процедура фильтрации математически записывается в виде

(7.5)

Далее к применяется обратное преобразование Фурье для получения фильтрованных проекций, которые затем обратно проецируются. Изображения, получаемые методом фильтрованного преобразования Фурье примерно эквивалентны изображениям, получаемым методом свертки, но современные компьютеры, применяя методику быстрых преобразований Фурье, выполняют реконструкцию изображений методом фильтрованных преобразований Фурье значительно быстрее. Наиболее широко используемые в ЯМ фильтры были рассмотрены ранее в главе 5.