Анализ в частотном пространстве

Изображения в ЯМ представляют собой пространственные распределения зарегистрированной эмиссии р/н. Такое способ часто называют представлением в пространственном домене (области). Вместе с тем нередко возникает необходимость преобразовать данные изображения в так называемый частотный домен. Это преобразование основывается на фундаментальном факте, что любую математическую функцию можно представить в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций различной частоты и различных фаз (термин фаза относится к начальной точке этих функций) (Фурье, 1807 г.). Такая математическая операция называется преобразование Фурье, при этом исходная информация преобразуется в другую более удобную форму. Как только это сделано, изменяются перспективы исследований, появляется возможность более глубокого понимания объекта. Особенно важное значение такое преобразование приобретает при модификации и фильтрации изображений.

Имея математическое описание изображения в виде двумерной функции , ее двумерное Фурье преобразование можно выразить в следующем виде:

(5.3)

где u и v – декартовые координаты в комплексной плоскости; (уравнение Эйлера устанавливает:).

Обратное преобразование Фурье имеет вид:

(5.4)

Таким образом, измеренное изображение может быть представлено в виде зарегистрированных отсчетах в каждой пространственной позиции или в виде амплитуд и фаз для каждой частоты. Высокочастотная составляющая изображения в частотном домене содержит информацию о краях и быстро изменяющихся районах (т.е. с большой разницей плотности счета между близко расположенными объектами), в то время как низкочастотная составляющая содержит информацию о районах с относительно медленно меняющейся плотностью счета. На рис. 5.7 показан пример преобразования Фурье поперечного изображения головного мозга. Единицы измерения вдоль осей u и v обычно являются число циклов на сантиметр или циклов на пиксель.

Рис. 5.7. Поперечное изображение мозга (а) и его соответствующее двумерное преобразование Фурье [4]