3.3. Свертка функций

Свертка функций – это важнейшее математическое понятие, которое используется почти во всех областях науки и техники, в том числе, оно широко применяется для оценки систем изображения и для процессинга цифровых изображений. Свертка двух функций – это математическая операция двух функций h(x) и f(x), порождающая третью функцию g(x), которая может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных, например, после операций осреднения или сглаживания. Свертка h(x) и f(x) записывается как h∗f (символ звездочки). Для непрерывных функций она определяется как интеграл от произведения двух функций после того, как одна реверсируется и смещается. По существу, это особый вид интегрального преобразования:

(5.9)

Операция свертки иллюстрируется на рис. 5.8 для двух функций, заданных в виде прямоугольных импульсов разной длительности.

Рис. 5.8. Пример свертки двух непрерывных функций h(x) и f(x). Более темным цветом показана площадь, равная интегралу (5.9) при разных значениях x (адаптировано из [4])

Одномерная дискретная свертка двух дискретных функций h(i) и f(i) длиной N определяется как

(5.10)

С точки зрения вычислительного процесса более легким и быстрым способом расчета свертки двух функций является использование теоремы свертки. В этой теореме доказывается, что свертка двух функций эквивалентна перемножению их преобразований Фурье в частотном пространстве. Таким образом, уравнение свертки (5.9) можно выразить в виде

(5.11)

где H(u) и F(u) – преобразование Фурье функций h(x) и f(x) в частотном пространстве.