3.5. Графическое изображение дискретного преобразования Фурье

Для лучшего понимания ДПФ рассмотрим графическую иллюстрацию этого процесса, показанную на рис. 5.9. Для простоты проанализируем одномерный сигнал. На левой стороне рис. 5.9 представлены графики функций в пространственном домене и на правой стороне – в частотном домене.

Рис. 5.9. Графическая иллюстрация дискретного преобразования Фурье [4]

На рис. 5.9,А и 5.9,В показаны графики сигнала f(x) и его непрерывного преобразованием Фурье F(u). Процесс выборки, как это следует из уравнения (5.5), выполняется умножением f(x) на бесконечную импульсную последовательность с интервалом между импульсами равном Δx (рис. 5.9,С). Преобразование этой последовательности также является бесконечной последовательностью с частотным интервалом равном 1/(Δx) (рис. 5.9,D). Выборочная функция f(n·Δx) показана на рис. рис. 5.9,E.

Из теоремы свертки известно, что перемножение в одном домене эквивалентно свертке в другом домене. Таким образом, преобразование Фурье f(n·Δx) есть просто функция F(u) (рис. 5.9,B), свернутая с бесконечной последовательность импульсов (рис. 5.9,D). Как можно видеть из рис. рис. 5.9,F, выборка функции порождает репликацию ее преобразования Фурье с периодом 1/(2Δx), и дополнительно наблюдается небольшой эффект наложения, так как репликации более высоких частот имеет тенденцию свертки в частотный диапазон исходной трансформации F(u).

Согласно теореме свертки, если f(x) не имеет частотного ограничения (т.е. F(u) ≠ 0 для |u| > u_c), то возникнет погрешности наложения. Эффект наложения можно уменьшить с помощью сужения интервала выборки (Δx). Дискретная функция, показанная на рис. 5.9,Е, является бесконечно длинной последовательностью. Для представления в цифровом компьютере требуется конечное число выборочных значений. Таким образом, необходимо усечение или оконное представление бесконечной последовательности. Этот шаг очень существенен в процессе выборки и выражается графически через перемножение f(n·Δx) (рис. 5.9,Е) с прямоугольным импульсом шириной, равной полю обзора камеры FOV (рис. 5.9,G). Усеченная выборочная последовательность f(i) показана на рис. 12.6,I. Преобразование Фурье прямоугольного импульса представляет синусоидальну функцию (рис. 5.8,H).

Из теоремы свертки следует, что перемножение в пространственном домене эквивалентно свертке в частотном домене. Поэтому существенное усечение, которое было реализовано прямоугольным импульсом шириной, равной FOV, эквивалентно свертке выборочной частотной трансформанты с синусоидальней функцией, показанной на рис. 5.8,H. По этой причине частотная трансформация f(i) содержит небольшие пульсации, видимые на рис. 5.9.J. Дискретное преобразование Фурье выполняется выборкой функции, показанной на рис. 5.9.J, с интервалом выборки 1/ FOV в частотном диапазоне Этот анализ наглядно выявил два эффекта, которые вызывает дискретное преобразование Фурье в отличие от непрерывного преобразования Фурье, а именно, частотное наложение и усечение.