Распределение вероятности

Предположим, что проводится серия измерений некоторой величины в контролируемых условиях. Случайные погрешности измерений проявляются в вариации значений измеряемой величины. Эти отклонения удобно анализировать с помощью частотной гистограммы, представляющей собой график, по оси ординат которого откладывается число измерений с результатами, попадающими в определенный интервал, а по другой значение измеряемой величины (рис. 2.23). При небольшом количестве событий (числе отсчетов), в гистограмме наблюдаются значительные флюктуации, но с увеличением числа событий гистограмма приближается к гладкой кривой. В пределе (число событий стремится к бесконечности) частотная диаграмма полностью раскрывает природу случайных вариаций.

Рис. 2.23. Пример частотных гистограмм при разном количестве измерений: а) недостаточное число измерений; б) большое число измерений

Если частотную гистограмму поделить (нормировать) на полное число измерений, то получим распределение вероятности (точнее плотности вероятности), описывающую вероятность при измерении получить конкретное значение исследуемой величины. Наиболее широкое применение находит так называемое нормальное или гауссовское распределение. Оно представляет собой симметричную кривую, характеризующуюся двумя параметрами: средним значением μ, где распределение имеет максимум, и стандартным отклонением σ (σ² называют дисперсией), характеризующее расширение распределения (рис. 2.24). Математическое выражение распределения Гаусса имеет вид

( 2.19)

где х – непрерывная переменная.

Рис. 2.24. Функция распределения Гаусса, имеющая среднее значение переменной x, равное μ, и стандартное отклонение, равное σ. Вероятность получения значений величины в пределах выделенного интервала равняется соответствующей площади под кривой [1](Хенкин, р.9.4, С.128)

Если провести случайную выборку из распределения Гаусса (т.е. выполнить серию независимых измерений), то 68 % измеренных величин окажутся в интервале μ ± σ вероятность и 95 % величин попадут в интервал μ ± 2σ.

В типичной ситуации μ и σ являются неизвестными параметрами, которые требуется оценить измерений х. Для распределения Гаусса показано, что оптимальный способ оценки μ и σ состоит в расчете арифметического среднего и стандартного отклонения выборки:

(2.20)

(2.21)

где x_i – результат отдельного измерения; m – среднее значение в серии измерений и оценка μ; SD – стандартное отклонение и оценка σ.

В предыдущем разделе при обсуждении статистики отсчетов говорилось, что она описывается распределением Пуассона. Оказывается, что серия отсчетов значений величины может быть аппроксимирован распределением Гаусса, в котором стандартное отклонение равно корню квадратному из среднего значения. Распределение Пуассона описывается следующим выражением:

(2.22)

где x – является целочисленной переменной.

Отметим, что распределение Пуассона для своего описания требует только один параметр μ. Стандартное отклонение всегда равно μ^1/2. Когда μ становится больше μ > 25, распределение Пуассона практически совпадает с распределением Гаусса, у которого σ = μ^1/2 (рис. 2.25).

Рис. 2.25. Графическое представление распределения Пуассона. В отличие от распределения Гаусса, которое является непрерывной функцией и позволяет отрицательные значения переменной, распределение Пуассона определено только для положительных значений переменной. Для небольших значений μ распределение Пуассона асимметрично (а) и близко аппроксимируется распределением Гаусса при μ > 25 [1].

Тот факт, что случайная природа измерений скорости счета подчиняется распределению Пуассона, дает определенное преимущество, так как позволяет оценить стандартное отклонение из одного измерения. Так если в результате измерения получено N отсчетов, то в качестве первого приближения N можно считать оценкой среднего значения μ, и отсюда оценкой стандартного отклонения будет SD = N^1/2.

Стандартное отклонение чаще выражают в относительных единицах, поделив на μ, или в процентах от μ, т.е. помножив еще на 100 процентов (δ(%) = 100 %×SD/ μ). На практике эту величину нередко называют погрешностью (в смысле англ. precision). Вообще говоря, вопросы терминологии в этой области не являются еще четко установившимися и достаточно запутаны. С подачи международных организаций [7] в России традиционный подход, основанный на понятии "погрешность результата измерения" начинает вытесняться подходом, основанном на понятии "неопределенность результата измерения" [8]. Согласно этим рекомендациям неопределенность измерения есть "параметр, связанный с результатом измерения, который характеризует дисперсию значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине" [8]. Преимущество такого подхода заключается в том, что для оценки неопределенности не требуется знания истинного значения измеряемой величины. В этом пособии мы не будем вдаваться в терминологические тонкости, однако понятие неопределенность как оно трактуется в [8], является достаточно удобным для практического использования.

Таким образом, относительная погрешность (статистическая) отдельного измерения отсчетов равна

(2.23)

Из формулы (2.23) хорошо видно, что относительная погрешность уменьшается с увеличением числа отсчетов. Выражение (2.23) нетрудно преобразовать для определения числа отсчетов, обеспечивающих требуемую относительную погрешность:

(2.24)