Материалы III семестра / Курс физики

§ 217. Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Статистическое толкование волн де Бройля (см. § 216) и соотношение неопределенностей Гейзенберга (см. § 215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции (х,у, z, t),так как именно она, или, точнее, величина ||², определяет вероятность пребывания частицы в момент времениtв объеме dV,т. е. в области с координатамихи x+dx, уи y+dy, zи z+dz. Taккак искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно бытьволновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механикисформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид

(217.1)

где ћ=h/(2),т—масса частицы,—оператор Лапласа i— мнимая единица, U (х, у, z, t) —потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется,(х, у, z, t) —искомая волновая функция частицы.

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные должны быть непрерывны; 3) функция ||²должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х,имеет вид (см. § 154),или в комплексной записи.Следовательно, плоская волна деБройля имеет вид

(217.2)

(учтено, что  = E/ћ, k=p/ћ).В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только ||², то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

откуда

(217.3)

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсомр (E=p²/(2m))и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение

которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U=0 (мы рассматривали свободную частицу). Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U,то полная энергияЕскладывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения и используя взаимосвязь междуЕ и р(для данного случая p²/(2m)=E–U), прядем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к которым оно приводит.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называютуравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимостьот времени, иными словами, найти уравнение Шредингера длястационарных состояний — состояний с фиксированными значениями энергии.Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функцияU=U(x, у, z)не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем, так что

(217.4)

где Е —полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множитель и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию:

(217.5)

Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарныхсостояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергияЕчастицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметраЕ,а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными.Решения же, которые соответствуют собственнымзначениям энергии, называются собственными функциями.Собственные значенияЕмогут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят онепрерывном, илисплошном,спектре, во втором —о дискретном спектре.

Содержание