§ 18. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Моментом силы F относительно неподвижной точкиОназывается физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектораr, проведенного из точ­киОв точкуАприложения силы, на силуF(рис. 25):

Здесь М — псевдовектор,его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отrк F. Модуль момента силы

(18.1)

где — угол междуrиF;rsin=l— кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкойО — плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной осиzназываетсяскалярнаявеличинаM_z , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точкиОданной осиz(рис. 26). Значение моментаМ_zне зависит от выбора положения точкиОна оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 27). Пусть сила F приложе­на в точке В,находящейся от осиzна расстоянииr,— угол между направлением силы и радиусом-векторомr. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый уголdточка приложенияВпроходит путьds=rdи работа равна произведе­нию проекции силы на направление смещения на величину смещения:

(18.2)

Учитывая (18.1), можем записать

где Frsin= Fl =M_z —момент силы относительно осиz. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA=dT,нопоэтомуM_zd= J_zd,или

Учитывая, чтополучаем

(18.3)

Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось zсовпадает с главной осью инерции (см. § 20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

(18.4)

где J —главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).