logo
Материалы III семестра / Курс физики

§ 166. Тонкие линзы. Изображение предметов с помощью линз

Раздел оптики, в котором законы распространения света рассматриваются на основе представления о световых лучах, называется геометрической оптикой. Подсветовыми лучамипонимают нормальные к волновым поверхностям линии, вдоль которых рас­пространяется поток световой энергии. Геометрическая оптика, оставаясь приближен­ным методом построения изображений в оптических системах, позволяет разобрать основные явления, связанные с прохождением через них света, и является поэтому основой теории оптических приборов.

Линзыпредставляют собой прозрачные тела, ограниченные двумя поверхностями (одна из них обычно сферическая, иногда цилиндрическая, а вторая — сферическая или плоская), преломляющими световые лучи, способные формировать оптические изоб­ражения предметов. Материалом для линз служат стекло, кварц, кристаллы, пластмас­сы и т. п. По внешней форме (рис. 232) линзы делятся на: 1) двояковыпуклые; 2) плосковыпуклые; 3) двояковогнутые; 4) плосковогнутые; 5) выпукло-вогнутые; 6) вогнуто-выпуклые. По оптическим свойствамлинзыделятся на собирающие и рассеивающие.

Линза называется тонкой,если ее толщина (расстояние между ограничивающими поверхностями) значительно меньше по сравнению с радиусами поверхностей, ограни­чивающих линзу. Прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называется главной оптической осью.Для всякой линзы существует точка, называемаяоптическим центром линзы,лежащая на главной оптической оси и обладающая тем свойством, что лучи проходят сквозь нее не преломляясь. Оптический центрОлинзы для простоты будем считать совпадающим с геометрическим центром средней части линзы (это справедливо только для двояковыпуклой и двояковогнутой линз с оди­наковыми радиусами кривизны обеих поверхностей; для плосковыпуклых и плосковогнутых линз оптический центрОлежит на пересечении главной оптической оси со сферической поверхностью).

Для вывода формулы тонкой линзы — соотношения, связывающего радиусы кри­визны R1и R2поверхностей линзы с расстояниямиаиbот линзы до предмета и его изображения, — воспользуемсяпринципом Ферма,* илипринципом наименьшего вре­мени:действительный путь распространения света (траектория светового луча) есть путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с любым другим мыслимым путем между теми же точками.

* П. Ферма (1601—1665) — французский математик и физик.

Рассмотрим два световых луча (рис. 233) — луч, соединяющий точки А и В(лучАОВ),и луч, проходящий через край линзы (лучАСВ), —воспользовавшись условием равенства времени прохождения света вдольАОВиАСВ.Время прохождения света вдольАОВ

где N =n/n1— относительный показатель преломления (п и n1 —соответственно аб­солютные показатели преломления линзы и окружающей среды). Время прохождения света вдольАСВравно

Так как t1= t2, то

(166.1)

Рассмотрим параксиальные (приосевые) лучи, т. е. лучи, образующие с оптической осью малые углы. Только при использовании параксиальных лучей получаетсястиг­матическое изображение, т. е. все лучи параксиального пучка, исходящего из точкиА, пересекают оптическую ось в одной и той же точкеВ.Тогда h<<(a+e), h<<(b+d)и

Аналогично,

Подставив найденные выражения в (166.1), получим

(166.2)

Для тонкой линзы е<<аи d<<b,поэтому (166.2) можно представить в виде

Учитывая, что и соответственно d=h2/(2R1),получим

(166.3)

Выражение (166.3) представляет собой формулу тонкой линзы. Радиус кривизны выпук­лой поверхности линзы считается положительным, вогнутой — отрицательным.

Если а=, т. е. лучи падают на линзу параллельным пучком (рис. 234,а), то

Соответствующее этому случаю расстояние b=OF=f называется фокусным расстоянием линзы,определяемым по формуле

Оно зависит от относительного показателя преломления и радиусов кривизны.

Если b=, т. е. изображение находится в бесконечности и, следовательно, лучи выходят из линзы параллельным пучком (рис. 234,б), то a=OF=f.Таким образом, фокусные расстояния линзы, окруженной с обеих сторон одинаковой средой, равны. Точки F,лежащие по обе стороны линзы на расстоянии, равном фокусному, называют­сяфокусами линзы. Фокус — это точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.

Величина

(166.4)

называется оптической силой линзы.Ее единица — диоптрия (дптр).Диоптрия— оп­тическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м: 1 дптр = 1/м.

Линзы с положительнойоптической силой являютсясобирающими, сотрицатель­ной—рассевающими. Плоскости, проходящие через фокусы линзы перпендикулярно ее главной оптической оси, называютсяфокальными плоскостями.В отличие от собира­ющей рассеивающая линза имеет мнимые фокусы. В мнимом фокусе сходятся (после преломления) воображаемые продолжения лучей, падающих на рассеивающую линзу параллельно главной оптической оси (рис. 235).

Учитывая (166.4), формулу линзы (166.3) можно записать в виде

Для рассеивающей линзы расстояния f иbнадо считать отрицательными.

Построение изображения предмета в линзах осуществляется с помощью следу­ющих лучей:

1) луча, проходящего через оптический центр линзы и не изменяющего своего направления;

2) луча, идущего параллельно главной оптической оси; после преломления в линзе этот луч (или его продолжение) проходит через второй фокус линзы;

3) луча (или его продолжения), проходящего через первый фокус линзы; после преломления в ней он выходит из линзы параллельно ее главной оптической оси.

Для примера приведены построения изображений в собирающей (рис. 236) и в рас­сеивающей (рис. 237) линзах: действительное (рис. 236, а) и мнимое (рис. 236, б) изображения — в собирающей линзе, мнимое — в рассеивающей.

Отношение линейных размеров изображения и предмета называется линейным увеличением линзы. Отрицательным значениям линейного увеличения соответствует действительное изображение (оно перевернутое), положительным — мнимое изобра­жение (оно прямое). Комбинации собирающих и рассеивающих линз применяются в оптических приборах, используемых для решения различных научных и технических задач.