§ 82. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.Бесконечная плоскость (рис. 126) заряжена с постоянной поверхностной плотностью + (=dQ/dS — заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (соs=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основанияЕ_nсовпадает сЕ), т. е. равен 2ES.Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равенS.Согласно теореме Гаусса (81.2), 2ES=S/₀,откуда

(82.1)

Из формулы (82.1) вытекает, что Ене зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскостиоднородно.

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей(рис. 127). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями + и –. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поляE=0. В области между плоскостямиE =E₊ +E_–(E₊ иE_–определяются по формуле (82.1)), поэтому результирующая напряженность

(82.2)

Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (82.2), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

3. Поле равномерно заряженной сферической поверхности.Сферическая поверхность радиусаR собщим зарядомQзаряжена равномерно с поверхностной плотностью+. Благодаря равномер­ному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметри­ей. Поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 128). Построим мысленно сферу радиусаr,имеющую общий центр с заряженной сферой. Еслиr>R,roвнутрь поверхности попадает весь зарядQ,создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса (81.2), ,откуда

(82.3)

При r>Rполе убывает с расстояниемrпо такому же закону, как у точечного заряда. График зависимостиЕ от rприведен на рис. 129. Еслиr'<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E=0).

4. Поле объемно заряженного шара. Шар радиусаR с общим зарядомQзаряжен равномерно с объемной плотностью (= – заряд, приходящийся на единицу объема). Учитывая соображения

симметрии (см. п. 3), можно показать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в предыдущем случае (см. (82.3)). Внутри же шара напряженность поля будет другая. Сфера радиуса r'<Rохватывает зарядQ'=⁴/₃ .Поэтому, согласно теореме Гаусса (81.2), . Учитывая, что ,получаем

(82.4)

Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (82.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r'согласно выражению (82.4). График зависимостиЕотrдля рассмотренного случая приведен на рис. 130.

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).Бесконечный цилиндр радиусаR(рис. 131) заряжен равномерно с линейной плотностью (= – заряд, приходящийся на единицу длины). Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиусаrи высотойl. Поток вектораЕсквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность равен 2rlЕ.По теореме Гаусса (81.2), приr>R2rlЕ=l/₀, откуда

(82.5)

Если r<R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой областиE=0. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определя­ется выражением (82.5), внутри же его поле отсутствует.