§ 143. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре

Среди различных электрических явлений особое место занимают электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды, токи) периодически изменя­ются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнит­ного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний использует­ся колебательный контур— цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностьюL,конденсатора емкостьюСи резистора сопротивлением R.

Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в идеализирован­ном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало (R0).Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±Q. Тогда в начальный момент времени t=0(рис. 202,а)между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого Q²(см. (95.4)). Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем токI. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки (она равна —воз­растать.

Так как R0, то, согласно закону сохранения энергии, полная энергия

так как она на нагревание не расходуется. Поэтому в моментt=¼T,когда конден­сатор полностью разрядится, энергия электрического поля обращается в нуль, а энер­гия магнитного поля (а следовательно, и ток) достигает наибольшего значения (рис. 202,б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся осла­бить ток, который в конце концов обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис. 202,в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 202,г) и система к моменту времениt=Тпридет в первоначальное состояние (рис. 202,а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разряд­ки и зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т.е. периодически изменялись (колеба­лись) бы заряд Qна обкладках конденсатора, напряжение Uна конденсаторе и сила токаI, текущего через катушку индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания, причем колебания сопровождаются превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Электрические колебания в колебательном контуре можно сопоставить с механи­ческими колебаниями маятника (рис. 202 внизу), сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и кинетической энергий маятника. В данном случае энергия электрического поля конденсатора (Q²/(2C))аналогична потенциальной энер­гии маятника, энергия магнитного поля катушки (LQ²/2) —кинетической энергии, сила тока в контуре — скорости движения маятника. Индуктивность Lиграет роль массыт,а сопротивление контура — роль силы трения, действующей на маятник.

Согласно закону Ома, для контура, содержащего катушку индуктивностьюL, конденсатор емкостьюСи резистор сопротивлением R,

где IR—напряжение на резисторе, Uc=Q/C—напряжение на конденсаторе, –э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока ( – единственная э.д.с. в контуре). Следовательно,

(143.1)

Разделив (143.1) на Lи подставив получим дифференциальное уравнение колебаний зарядаQв контуре:

(143.2)

В данном колебательном контуре внешние э.д.с. отсутствуют, поэтому рассматриваемые колебания представляют собой свободныеколебания (см. §140). Если со­противление R=0,то свободные электромагнитные колебания в контуре являютсягармоническими.Тогда из (143.2) получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре.

Из выражений (142.1) и (140.1) вытекает, что заряд Qсовершает гармонические колебания по закону

(143.3)

где Q_m— амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой₀, называемойсобственной частотой контура, т. е.

(143.4)

и периодом

(143.5)

Формула (143.5) впервые была получена У. Томсоном и называется формулой Томсона. Сила тока в колебательном контуре (см. (140.4))

(143.6)

где I_m=₀Q_m —амплитуда силы тока. Напряжение на конденсаторе

(143.7)

где U_m=Q_m/C—амплитуда напряжения.

Из выражений (143.3) и (143.6) вытекает, что колебания тока Iопережают по фазе колебания зарядаQна/2, т.е., когда ток достигает максимального значения, заряд (а также и напряжение (см. (143.7)) обращается в нуль, и наоборот.