§ 148. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний (механических и электромагнитных). Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды Авынужденных колебаний отчастоты. Меха­нические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением(х)колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q)конденсатора.

Из формулы (147.8) следует, что амплитуда Асмещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определитьрезонансную частоту_рез, — частоту, при которой амплитудаАсме­щения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкорен­ное выражение пои приравняв его нулю, получим условие, определяющее_рез :

Это равенство выполняется при =0, ± , у которых только лишь положи­тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота

(148.1)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к ча­стоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом(соответственно механическимили электрическим). При значение_резпрактически совпадает с собственной частотой₀колебательной системы. Подста­вляя (148.1) в формулу (147.8), получим

(148.2)

На рис. 210 приведены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от часто­ты при различных значениях .Из (148.1) и (148.2) вытекает, что чем меньше, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если0, то все кривые (см. также (147.8)) достигают одного в того же, отличного от нуля, предельного значения , которое называютстатическим отклонением. В случае механических колебаний , в случае электромагнитных – U_m/(L ).Если, то вое кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенная совокупность кривых называетсярезонансными кривыми.

Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании ( ) резонансная амплитуда смещения (заряда)

где Q — добротность колебательной системы (см. (146.8)), — рассмотренное выше статическое отклонение. Отсюда следует, что добротность Qхарактеризует резонансные свойства колебательной системы: чем большеQ,тем большеА_рез.

На рис. 211 представлены резонансные кривые для амплитуды скорости (тока). Амплитуда скорости (тока)

максимальна при _рез=₀и равна ,т.е. чем больше коэффициент затухания, тем ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплитуда скорости при механическом резонансе равна

а амплитуда тока при электрическом резонансе

Из выражения tg= (см. (147.9)) следует, что если затухание в системе отсутствует (=0),тотольков этом случае колебания и вынуждающая сила (прило­женное переменное напряжение) имеют одинаковые фазы; во всех других случаях 0.

Зависимость отпри разных коэффициентахграфически представлена на рис. 212, из которого следует, что при измененииизменяется и сдвиг фаз.Из формулы (147.9) вытекает, что при=0=0, а при=₀независимо от значения коэффициента затухания =/2, т. е. сила (напряжение) опережает по фазе колебания на/2. При дальнейшем увеличениисдвиг фаз возрастает и при>>₀   , т. е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы (переменного напряжения). Семейство кривых, изображенных на рис. 212, называетсяфазовыми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собствен­ная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разруше­ния. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника используют явление резонанса.