§ 14. Графическом представление энергии

Во многих задачах рассматривается одномерное движение тела, потенциальная энергия которого является функцией лишь одной переменной (например, координаты х), т. е. П=П (х). График зависимости потенциальной энергии от некоторого аргумента назы­ваетсяпотенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела.

Будем рассматривать только консервативные системы, т. е. системы, в которых взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют. Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме (13.3). Рассмотрим графическое пред­ставление потенциальной энергии для тела в однородном поле тяжести и для упругодеформированного тела.

Потенциальная энергия тела массой т,поднятого на высотуhнад поверхностью Земли, согласно (12.7), П (h)=mgh.График данной зависимости П = П(h) — прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 15), угол наклона которой к осиhтем больше, чем больше масса тела (так какtg=mg).

Пусть полная энергия тела равна Е(ее график — прямая, параллельная осиh).На высотеhтело обладает потенциальной энергией П, которая определяется отрезком вертикали, заключенным между точкойhна оси абсцисс и графиком П(h). Естествен­но, что кинетическая энергияТзадается ординатой между графиком П(h) и горизон­тальной прямойЕЕ.Из рис. 15 следует, что еслиh=h_max, тоТ=0 и П=E=mgh_max, т. е. потенциальная энергия становится максимальной и равной полной энергии.

Из приведенного графика можно найти скорость тела на высоте h:

откуда

Зависимость потенциальной энергии упругой деформации П=кх²/2 от деформациихимеет вид параболы (рис. 16), где график заданной полной энергии телаЕ —прямая, параллельная оси абсциссх,а значенияТи П определяются так же, как на рис. 15. Из рис. 16 следует, что с возрастанием деформациихпотенциальная энергия тела воз­растает, а кинетическая — уменьшается. Абсциссаx_maxопределяет максимально воз­можную деформацию растяжения тела,a–х_max— максимально возможную дефор­мацию сжатия тела. Еслих = ±х_max, тоT=0 и П=E=k/2, т. е. потенциальная энергия становится максимальной и равной полной энергии.

Из анализа графика на рис. 16 вытекает, что при полной энергии тела, равной Е, тело не может сместиться правеех_maxи левее –х_max, так как кинетическая энергия не может быть отрицательной и, следовательно, потенциальная энергия не может быть больше полной энергии. В таком случае говорят, что тело находится в потенциальной ямес координатами – х_maxx  х_max.

В общем случае потенциальная кривая может иметь довольно сложный вид, например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами (рис. 17). Проанализируем эту потенциальную кривую. Если Е — заданная полная энергия частицы, то частица может находиться только там, где П(х)Е,т. е. в областяхIиIII. Переходить из областиIвIIIи обратно частица не может, так как ей препятствуетпотенциальный барьерCDG, ширина которого равна интервалу значе­нийх, при которыхE< П, а его высота определяется разностью П_mах–E.Для того чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В областиIчастица с полной энергиейЕоказывается «запертой» в потенциальной ямеAВС и совершает колебания между точками с координатамих_Aих_C.

В точке Вс координатойх₀(рис. 17) потенциальная энергия частицы минимальна. Так как действующая на частицу сила (см. § 12) (П — функция только одной координаты), а условие минимума потенциальной энергии , то в точкеВ —F_x =0. При смещении частицы из положениях₀(и влево и вправо) она испытывает действие возвращающей силы, поэтому положениех₀является положением устойчивого равновесия.Указанные условия выполняются и для точки(для П_max). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия,так как при смещении частицы из положенияпоявляется сила, стремящаяся удалить ее от этого положения.