§ 17. Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массамит₁, т₂ ,..., т_n ,находящиеся на расстоянииr₁,r₂,...,r_nот оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементар­ные объемы массами m_iопишут окружности различных радиусовr_i, и имеют различные линейные скоростиv_i.Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

(17.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

или

Используя выражение (17.1), получаем

где J_z —момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

(17.2)

Из сравнения формулы (17.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела движущегося поступательно (T=mv²/2),следует, что момент инерции —мера инертности телапри вращательном движении. Формула (17.2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m— масса катящегося тела;v_c —скорость центра масс тела;Jc —момент инер­ции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;— угловая скорость тела.