§ 36. Преобразования Лоренца

Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на основе сформулированных им постулатов, показал, что классические преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены преобразова­ниями, удовлетворяющими постулатам теории относительности.

Для иллюстрации этого вывода рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К(с координатамих, у, z)иК'(с координатамих', у',z'), движущуюся относительноК(вдоль осих) со скоростьюv=const(рис. 59). Пусть в начальный момент времениt=t'=0,когда начала координатО и О'совпадают, излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна, скорость света в обеих системах одна и та же и равнас.Поэтому если за времяtв системеКсигнал дойдет до некоторой точкиА(рис. 59), пройдя расстояние

х = ct, (36.1)

то в системе К'координата светового импульса в момент достижения точкиА

х' = ct'. (36.2)

где t' —время прохождения светового импульса от начала координат до точкиАв си­стемеК'.Вычитая (36.1) из (36.2), получаем

х' – х = c(t' – t).

Так как х'  х(системаК'перемещается по отношению к системеК),то

t't,

т. е. отсчет времени в системах К и К'различен —отсчет времени имеет относитель­ный характер(в классической физике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета течет одинаково, т. е.t=t').

Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой:

заменяются преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими постулатам Эйнштейна (формулы представлены для случая, когда К'движется относительноКсо скоростьюvвдоль осих).

Эти преобразования предложены Лоренцем в 1904 г., еще до появления теории относительности, как преобразования, относительно которых уравнения Максвелла (см. § 139) инвариантны.

Преобразования Лоренца имеют вид

(36.3)

Из сравнения приведенных уравнений вытекает, что они симметричны и отличаются лишь знаком при v.Это очевидно, так как если скорость движения системыК' относительно системыКравнаv,то скорость движенияКотносительноК'рав­на –v.

Из преобразований Лоренца вытекает также, что при малых скоростях (по сравне­нию со скоростью с), т. е. когда<<1, они переходят в классические преобразования Галилея (в этом заключается суть принципасоответствия), которые являются, следова­тельно, предельным случаем преобразований Лоренца. Приv>cвыражения (36.3) длях, t, х', t'теряют физический смысл (становятся мнимыми). Это находится, в свою очередь, в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости распрост­ранения света в вакууме, невозможно.

Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как расстоя­ние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках преобразова­ний Галилея эти величины считались абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространственные, так и временные преоб­разования (см. (36.3)) не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени — пространственные координаты, т. е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким об­разом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространст­венные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.