§ 2. Скорость

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстротадвижения, так и егонаправ­лениев данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени tей соответствует радиус-векторr₀(рис. 3). В течение малого промежутка времениtточка пройдет путьsи получит элементарное (бесконечно малое) перемещениеr.

Вектором средней скорости<v> называется отношение приращенияrрадиу­са-вектора точки к промежутку времениt:

(2.1)

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением r. При неог­раниченном уменьшенииtсредняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью v:

Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пре­деле совпадает с касательной, то вектор скорости vнаправлен по касательной к траек­тории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшенияtпутьsвсе больше будет приближаться к |r|, поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

(2.2)

При неравномерном движении —модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величинойv— средней скоро­стьюнеравномерного движения:

Из рис. 3 вытекает, что v> |v|, так какs> |r|, и только в случае прямолиней­ного движения

Если выражение ds = vdt (см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пре­делах отtдоt +t, то найдем длину пути, пройденного точкой за времяt:

(2.3)

В случае равномерного движениячисловое значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (2.3) примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t₁доt₂, дается интегралом