§ 186. Электронная теория дисперсии светя

Из макроскопической электромагнитной теории Максвелла следует, что абсолютный показатель преломления среды

где — диэлектрическая проницаемость среды,  —магнитная проницаемость. В оп­тической области спектра для всех веществ 1, поэтому

(186.1)

Из формулы (186.1) выявляются некоторые противоречия с опытом: величина n, являясь переменной (см. § 185), остается в то же время равной определенной постоян­ной .Кроме того, значенияn, получаемые из этого выражения, не согласуются с опытными значениями. Трудности объяснения дисперсии света с точки зрения элект­ромагнитной теории Максвелла устраняются электронной теорией Лоренца. В теории Лоренца дисперсия света рассматривается как результат взаимодействия электромаг­нитных волн с заряженными частицами, входящими в состав вещества и совершающи­ми вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.

Применим электронную теорию дисперсии света для однородного диэлектрика, предположив формально, что дисперсия света является следствием зависимости от частотысветовых волн. Диэлектрическая проницаемость вещества, по определению (см. (88.6) и (88.2)), равна

где  —диэлектрическая восприимчивость среды,₀— электрическая постоянная,Р —мгновенное значение поляризованности. Следовательно,

(186.2)

т.е. зависит от Р. В данном случае основное значение имеет электронная поляризация, т.е. вынужденные колебания электронов под действием электрической составляющей поля волны, так как для ориентационной поляризации молекул частота колебаний в световой волне очень высока (  10¹⁵Гц).

В первом приближении можно считать, что вынужденные колебания совершают только внешние, наиболее слабо связанные с ядром электроны — оптические электроны.Для простоты рассмотрим колебания только одного оптического электрона. Наведенный дипольный момент электрона, совершающего вынужденные колебания, равенр=ех,гдее— заряд электрона,х —смещение электрона под действием элект­рического поля световой волны. Если концентрация атомов в диэлектрике равнаn₀, то мгновенное значение поляризованности

(186.3)

Из (186.2) и (186.3) получим

(186.4)

Следовательно, задача сводится к определению смещения хэлектрона под действием внешнего поляЕ.Поле световой волны будем считать функцией частоты, т. е. изменяющимся по гармоническому закону:Е = Е₀ cos  t.

Уравнение вынужденных колебаний электрона (см. §147) для простейшего случая (без учета силы сопротивления, обусловливающей поглощение энергии падающей волны) запишется в виде

(186.5)

где F₀ = еЕ₀ —амплитудное значение силы, действующей на электрон со стороны поля волны, — собственная частота колебаний электрона,т —масса электрона. Решив уравнение (186.5), найдем = n²в зависимости от констант атома (е, т, ₀) и частотывнешнего поля, т.е. решим задачу дисперсии. Решение уравнения (186.5) можно записать в виде

(186.6)

где

(186.7)

в чем легко убедиться подстановкой (см. (147.8)). Подставляя (186.6) и (186.7) в (186.4), получим

(186.8)

Если в веществе имеются различные заряды е_i, совершающие вынужденные колебания с различными собственными частотами_0i,то

(186.9)

где т, —массаi-го заряда.

Из выражений (186.8) и (186.9) вытекает, что показатель преломления nзависит от частотывнешнего поля, т. е. полученные зависимости действительно подтверждают явление дисперсии света, хотя и при указанных выше допущениях, которые в даль­нейшем надо устранить. Из выражений (186.8) и (186.9) следует, что в области от = 0 до = ₀n²больше единицы и возрастает с увеличением(нормальная дисперсия); при = ₀n² = ±; в области от = ₀до = n²меньше единицы и возрастает от– до 1 (нормальная дисперсия). Перейдя отn²кn, получим, что график зависимостиnотимеет вид, изображенный на рис. 270. Такое поведениеnвблизи₀ —результат допущения об отсутствии сил сопротивления при колебаниях электро­нов. Если принять в расчет и это обстоятельство, то график функцииn() вблизи ₀задастся штриховой линиейАВ.ОбластьАВ —область аномальной дисперсии (n убывает при возрастании), остальные участки зависимостиnот описывают нормальную дисперсию (nвозрастает с возрастанием).

Российскому физику Д. С. Рождественскому (1876—1940) принадлежит классичес­кая работа по изучению аномальной дисперсии в парах натрия. Он разработал ин­терференционный метод для очень точного измерения показателя преломления паров и экспериментально показал, что формула (186.9) правильно характеризует зависи­мость nот, а также ввел в нее поправку, учитывающую квантовые свойства света и атомов.