4.2. Гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называется система, колебание которой описывается линейным однородным уравнением второго порядка типа:

(4.4)

Примерами гармонических осцилляторов могут служить маятники, электрический колебательный контур и др.

Пружинный маятник(рис.4.4,а)

а) б)

Рис.4.4

На шарик массой mпри смещении его из положения равновесия (х=0) будет действовать сила упругости пружины, стремящаяся вернуть его в положение равновесия. Эта сила по закону Гука (см.2.7):

F=-kx

По второму закону Ньютона эта сила , где- вторая производная отх. Тогда:

или(4.5)

Обозначим и получим уравнение (4.4). Это уравнение гармонических колебаний системы с собственной циклической частотой ω₀и периодом.

Математический маятникпредставлен на рисунке 4.4,б.

На маятник действует сила тяжести Р. Ее как вектор можно разложить на две составляющие P_n=T(Т- сила натяжения нити) иP_τ=Psinφ. Еслиφмал, то, т.е. возвращающая сила пропорциональна углу смещенияφ. И хотяР_τпо природе не является силой упругости, по своему действию она аналогична силеF=-kx. Такие силы называютсяквазиупругими. Общим решением уравнения (4.5) будет (4.1)

При отклонении маятника от положения равновесия на угол φвозникает вращающий момент:

,

где ℓ- длина нити.

Из основного уравнения вращательного движения (см.2.3) , где,и учитывая, чтоP=mg, получим:

или(4.6)

Обозначим , тогда(сравним с 4.4). Решение этого уравнения имеет вид- уравнение гармонического колебания с частотой

и периодом. (4.7)

Физический маятник любое твердое тело, способное совершать колебания. Его также можно характеризовать уравнением типа 4.6., где,откудаи(сравним с 4.7).Приведенная длинаLпр физического маятникачисленно равна длинеℓ такого математического маятника, у которого период Т одинаков с физическим. Основное свойство физического маятника: если маятник перевернуть, найти новый центр качания с тем же периодом Т и измерить расстояние между бывшим и новым центрами качания, то оно будет равноL_пр.

Момент инерции физического маятника рассчитывают по формуле Штейнера:

,

где ℓ-рассояние от центра масс тела до оси колебаний.

Определив период колебаний маятника Т и зная ℓилиL_пр, можно рассчитать ускорение свободного паденияgв данной точке Земли.

Энергия колебаний. Дифференцируя формулу (4.1) можно определить уравнения для скорости колебаний

и для ускорения

Тогда кинетическая энергия (при )

Потенциальная энергия

Полная энергия

т.е. полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды.

Колебательный контур(электрический см. рис. 3.26). Согласно закона Ома для контура:

,

где IR-падение напряжения на резистореR,- напряжение на конденсаторе емкостью С,- ЭДС самоиндукции при переменном токе. Тогда можно записать.

Разделив на Lи подставиви, получим уравнение типа (4.4)

(4.8)

Если внешние ЭДС отключены и Rмало, то- уравнение свободных гармонических колебаний с собственной частотойи периодом. При этом колебания заряда; тока; напряжения.