Свободные затихающие колебания

Реально любое свободное колебание системы является затухающим. Пусть на колеблющееся тело действует лишь одна сила сопротивления среды

,

где r-коэффициент сопротивления среды.

Для этого случая второй закон Ньютона можно записать

Разделим на mи обозначим,. Тогдадифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийлинейной системы будет иметь вид:

, (4.9)

где х-колеблющаяся величина;β-коэффициент затухания;ω₀-собственная циклическая частота колебаний. Решение уравнения (4.9) будем искать в виде:

(4.10)

Найдя и, подставим в (4.8) и получим:

или

Обозначая , запишем:

- уравнение гармонических колебаний типа (4.4)

Решением его будет:

(4.11)

Период

Подставляя (4.11) в уравнение (4.10), получим решение уравнения (4.9):

,

где (4.12)

это уравнение изменения амплитуды со временем tдля затухающих свободных колебаний. Скорость затухания определяется коэффициентом:

Отношение двух амплитуд, отличающихся по времени на величину Т, называется декрементом затухания: