5.3. Квантовые состояния и уравнение Шредингера

Так как частицы проявляют волновые свойства, хотя в строгом понимании волной не являются, то оказывается невозможным охарактеризовать эти свойства с помощью уравнений классической механики. Шредингер(1925г.), анализируя поведение частиц с позиций квантовой механики, пришел к выводу, что положение частицы в данный момент времени можно определить с помощьюволновой функции. Статистический смысл волновой Ψ - функции состоит в том, что она определяет вероятность ω того, что частица находится в области Δх при одномерном ее движении вдоль оси х. Вероятность ω пропорциональна:

(5.21)

Такой подход хорошо согласуется с волновыми свойствами частиц и с соотношением неопределенностей (5.19). Основное (временное) уравнение Шредингера (при V<<с):

, (5.22)

где m-масса частицы;;;

Δ-оператор Лапласа;

U-потенциальная энергия частицы.

Для стационарного состояния частицы, движущейся со скоростью V<<с вдоль оси х:

(5.23)

где m-масса частицы; Е - полная энергия;U=U(х)-потенциальная энергия частицы;

Ψ(х)-волновая функция, описывающая состояние частицы.

Если частица свободная, то U(х) в уравнении (5.23) равна нулю. Если частица находится в определенном энергетическом состоянии с энергией Е=const, то вероятность ω ее обнаружить в областиΔх или в объемеΔVне зависит от времени. Это состояние частицы называетсястационарным состоянием.Атом в таком состоянии не излучает энергии.

Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме (ящике). Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергияUчастицы меньше, чемUза ее пределами. Пусть яма будет бесконечно глубокой (рис.5.4). Ширина ямыL. Частица свободнаяU=0.

Рис.5.4

Условия: при х<0 U= ∞; 0<x<LU=0;x>LU= ∞

Уравнение Шредингера для движения частицы вдоль оси х

Обозначив через ω²перепишем уравнение

Решением его будет . Исследуем его.

При х = 0 , т.е. вероятность нахождения частицы за пределами х0 равна 0 и α = 0.

При х=L-вероятность нахождения частицы справа от ямы равна 0. Ψ(L) = 0, если(n=1, 2, 3,…). Из этого следует, что решение уравнения (5.23) будет иметь место лишь при определенных значениях. Иначе говоря, энергия частицы в потенциальной яме квантуется. Полагая разные значенияn, получимэнергетические уровничастицы в яме (ящике).

(n=1, 2, 3,…) (5.24)

Соответствующие значения nназываютсяквантовыми числами.

Определим интервал между энергетическими уровнями:

Найдем, для примера электрона в атоме (,)nэВ. Сравним с кинетической тепловой энергией электронаэВ (в атоме).

Функции , удовлетворяющие уравнению (5.23), называются нормированнымисобственными функциями. Для нахождениявоспользуемся условием нормировки:

- частица с вероятностью ω=1 находится в ящике (яме)

Среднее значение , умножим на ширину ящикаL, тогдаоткуда.

Нормированная собственная волновая функция для нашего случая частицы в ящике (яме):

(5.25)

Подставляя (5.25) в уравнение (5.21), находим вероятность нахождения частицы в яме или энергетические уровни по (5.24). График нормированной функциипредставлен на рис.5.5, а, а график вероятности нахождения частицы в пределах 0<х<Lна рис.5.5, б (здесь^- комплексно сопряженная функция с).

Рис.5.5

Из графика 5.5, б следует, что частица при квантовом числе n=1 имеет больше вероятности находится в середине ящика, приn=2 равновероятно находиться как в правой так и в левой части ящика и т.д.

Рассмотрим еще один пример, показывающий различие в поведении частицы при рассмотрении с позиций квантовой и классической механики. Пусть частица находится в силовом поле и на ее пути потенциальный барьер высотой U(рис.5.6). Если частица имеет

Рис.5.6.

полную энергию Е<Uменьше высоты барьера, то с классической точки зрения она не может преодолеть барьер (пройти через областьII). С позиций квантовой механики она это способна сделать. Неопределенность энергии ΔЕ (см.5.20) частицы может привести к «просачиванию» частицы через барьер, когда изменение кинетической энергии может стать

ΔЕ_к>U–E

Волновая функция и в области IIψ0.

Таким образом, частицу можно обнаружить в запрещенной для нее с классической точки зрения области (часть частиц отражается от барьера, часть проходит, что подобно тому как свет проходит через границу двух сред). Прохождение частиц сквозь потенциальные барьеры называется туннельным эффектом, а любой барьер характеризуется соответствующимкоэффициентом прозрачности.

Туннельный эффект играет заметную роль при радиоактивном распаде (излучение - частиц ядрами), холодной эмиссии электронов из металлов и др.

Частица с массой m, которая колеблется с собственной частотой₀вдоль оси х в яме под действием квазиупругой силыF= -kx, называетсялинейным(одномерным)гармоническим осциллятором.