2.7. Элементы механики сплошных сред

Жидкости и газыво многом схожи по своим свойствам. Они текучи и принимают форму того сосуда, в котором находятся. Они подчиняются законам Паскаля и Архимеда.

При рассмотрении движения жидкостей можно пренебречь силами трения между слоями и считать их абсолютно несжимаемыми. Такая абсолютно невязкая и абсолютно несжимаемая жидкость называется идеальной.

Движение жидкости можно описать, если показать траектории движения ее частиц таким образом, чтобы касательная в любой точке траектории совпадала с вектором скорости. Эти линии называются линиями тока. Линии тока принято проводить так, чтобы их густота была больше там, где больше скорость течения жидкости (рис.2.11).

Рис. 2.11

Величина и направление вектора скорости Vв жидкости могут меняться со временем, то и картина линий тока может непрерывно меняться. Если же вектора скорости в каждой точке пространства не меняются, то течение жидкости называютстационарным.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Частицы жидкости, двигаясь внутри трубки тока, не пересекают ее стенок.

Рассмотрим одну трубку тока и обозначим через S₁иS₂площади поперечного сечения в ней (рис.2.12). Тогда за единицу времени черезS₁ иS₂протекают одинаковые объемы жидкости:

S₁V₁=S₂V₂(2.47)

это применимо к любому сечению трубки тока. Следовательно, для идеальной жидкости величина SV=constв любом сечении трубки тока. Это соотношение называетсянеразрывностью струи. Из него следует:

,

т.е. скорость Vстационарного течения жидкости обратно пропорциональна площади сеченияSтрубки тока, а это может быть обусловлено градиентом давления в жидкости вдоль трубки тока. Теорема о неразрывности струи (2.47) применима и к реальным жидкостям (газам) при их течении в трубах разного сечения, если силы трения невелики.

Уравнение Бернулли. Выделим в идеальной жидкости трубку тока переменного сечения (рис.2.12). В силу неразрывности струи черезS₁ иS₂за одно время протекают одинаковые объемы жидкости ΔV.

Рис. 2.12

Энергия каждой частицы жидкости складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии. Тогда при переходе от одного сечения трубки токи к другому приращение энергии жидкости будет:

В идеальной жидкости приращение ΔWдолжно равняться работе сил давления на изменение объема ΔV, т.е.А=(Р₁-Р₂)· ΔV.

Приравнивая ΔW=Aи сокращая на ΔV и учитывая, что(ρ-плотность жидкости), получим:

т.к. сечение трубки тока взяты произвольно, то для идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется:

. (2.48)

где Р-статическое давление в определенном сеченииSтрубки тока;

-динамическое давление для этого сечения;V-скорость протекания жидкости через это сечение;

ρgh-гидростатическое давление.

Уравнение (2.48) называется уравнением Бернулли.

Вязкая жидкость. В реальной жидкости при перемещении ее слоев относительно друг друга возникаютсилы внутреннего трения(вязкость). Пусть два слоя жидкости отстоят друг от друга на расстояние Δх и движутся со скоростямиV₁иV₂(рис.2.13).

Рис.2.13

Тогда сила внутреннего трения между слоями(закон Ньютона):

, (2.49)

где η-коэффициент динамической вязкости жидкости:

, (2.50)

- средняя арифметическая скорость молекул;

- средняя длина свободного пробега молекул;

-градиент скорости слоев;ΔS – площадь соприкасающихся слоев.

Слоистое течение жидкости называется ламинарным. При возрастании скорости слоистый характер течения нарушается, происходит перемешивание жидкости. Такое течение называюттурбулентным.

При ламинарном течении поток жидкости Qв трубе радиусаRпропорционален перепаду давления на единице длины трубыΔР/ℓ:

- формула Пуазейля. (2.51)

В реальных жидкостях и газах движущиеся тела испытывают действия силы сопротивления. Например, сила сопротивления, действующая на шарик, равномерно движущийся в вязкой среде, пропорциональна его скорости V:

- формула Стокса, (2.52)

где r-радиус шарика.

При увеличении скорости движения обтекание тела нарушается, позади тела образуются завихрения, на что дополнительно тратится энергия. Это приводит к возрастанию лобового сопротивления.