2.6. Элементы механики твердого тела

Твердое тело может находиться в равновесии при условиях: 1) векторная сумма всех действующих на тело силравна нулю; 2) векторная суммамоментоввсех действующих на тело сил равна нулю.

Пусть на твердое тело действует вращательный момент М. Установим связь между моментоми угловым ускорением ε. Допустим, что материальная точка с массойmтела вращается с ускорением вокруг неподвижной оси ОО^/под действием силы(рис.2.8).

Рис. 2.8

Тангенциальная составляющая силы сообщает точке ускорение. Нормальная составляющая вектора силына угловое ускорениене влияет. По второму закону Ньютона:

(2.38)

Тангенциальное ускорение a_τ, связано с угловым ускорением ε уравнением (2.11):

a_τ=εr.

Из рисунка (2.8) можно выразить:

F_τ = F sin α.

Тогда формулу (2.38) с учетом сказанного выше можно записать:

F sin α=mrε.

Умножим обе части равенства на r:

rF sin α=mr²ε. (2.39)

Величина rF·sin·α также как и в (2.16) есть момент силы М. Величинуmr²-произведение массы материальной точкиmна квадрат расстоянияrот точки до оси вращения, называютмоментом инерцииматериальной точки относительно оси вращения:J=mr².

Момент инерции всего тела можно, очевидно, найти как сумму моментов инерции всех его элементов, принимаемых за материальные точки, относительно одной оси, т.е.

, или. (2.40)

Момент инерции характеризует инертные свойства вращающегося тела (подобно массе mпри поступательном движении). Чем большеJ, тем труднее изменить угловую скоростьωвращающегося тела. С учетом сказанного, формулу (2.39) можно записать:

или(2.41)

Таким образом, угловое ускорение ,приобретаемое вращающимся твердым телом прямо пропорционально моменту всех внешних сил , обратно пропорционально моменту инерцииJ тела и направлено по оси вращения в сторону момента силы. Это и есть основное уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Оно подобно основному закону поступательного движения(второй закон Ньютона).

По аналогии с формулой (2.14) основное уравнение динамики вращающегося твердого тела может быть выражено через момент импульса, т.е.

(2.42)

Момент инерции зависит не только от массы тела, его формы, размеров, но и от расположения оси вращения.

Приведем значения моментов инерции некоторых однородных тел относительно осей, проходящих через центры масс тел:

Тонкий обруч (кольцо, труба) , гдеR-радиус тела;

Диск: ;

Шар: ;

Стержень: , гдеℓ-длина однородного тонкого стержня.

Теорема Штейнера. Если ось вращения не совпадает с центром масс тела, то

относительно произвольной оси момент инерции Jопределяется по формуле Штейнера:

J=J₀+mr², (2.43)

где J₀-момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно произвольной оси;

m-масса тела;

r-расстояние от оси до центра масс тела.

Пользуясь теоремой Штейнера, рассмотрим пример расчета момента инерции однородного диска массойmи радиусомRотносительно оси О, отстоящей от центра масс на расстояниеr=R(рис.2.9):

Рис. 2.9

Кинетическую энергиювращающегося теламожно найти как сумму кинетических энергий его элементов относительно неподвижной оси:

(2.44)

Если тело одновременно участвует в двух движениях: поступательном и вращательном, то его кинетическую энергию находят как сумму:

(2.45)

Рассмотрим пример определения работы при вращательном движениитела вокруг неподвижной оси ОО^/под действием момента силы(рис.2.10). Если тело повернуть на угол Δφ, то точка приложения силы опишет дугуΔS=rΔφ, тогда элементарная работа ΔА, равная произведению проекции силыF на направление перемещенияF_s=F sin α, умноженная на величину перемещения ΔS, будет:

ΔА=F_sΔS=FrΔφ sin α,

Рис. 2.10

но Frsinα=M-на основании (2.16), тогда если.

ΔА=М·Δφ(2.46)