logo search
АммерКарелинФизикаЛекц

Сложение гармонических колебаний

Покажем, что гармонические колебания можно представить с помощью вектора амплитуды А, вращаемого с циклической частотой ω (рис.4.1). Проекция вектора А на ось х:

Рис.4.1

будет меняться со временем по закону (4.1). Таким образом, проекция вектора на ось х будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора А, циклической частотой, равной угловой скорости вращения, и начальной фазой, равной углу φ0, образуемому вектором А с осью х в начальный момент времениt=0.

Рассмотрим сложение колебаний одинакового направления(с одинаковой частотой ω, но отличающиеся начальными фазами и амплитудой).

Рис.4.2

Результирующая амплитуда (рис. 4.2) по правилу векторного сложения:

Угол φ результирующей амплитуды определяется:

Тогда уравнение результирующего гармонического колебания будет:

.

Если же ω складываемых колебаний различны, то результирующее колебание не будет гармоническим.

Особый интерес представляют два гармонических колебания, незначительно отличающиеся по частоте. Тогда при сложении получается колебание с пульсирующей амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Пусть материальная точка на пружине участвует сразу в двух колебаниях по оси х и по оси у (рис.4.3):

Рис.4.3

или (1)

(2)

Умножим первое на cos φ2, второе наcos φ1и найдем их разность:

(3)

Повторим то же самое только первое, умножим на sin φ2, второе наsin φ1и найдем их разность:

(4)

Возводя уравнения (3) и (4) в квадрат и складывая, получим:

это есть уравнение эллипса.

В частном случае:

а) при φ2 – φ1=0 получим:

- уравнениепрямой.

б) при

- уравнение эллипса, приведенного к осям координат.

Знаки ± указывают только направление вращения материальной точки вдоль траектории – эллипсу (по часовой или против часовой стрелки).

в) при А1=А2 получим:

х2+у2=А2– уравнениеокружностис радиусом А.

И, наконец, если частоты ω взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего движения имеет сложный характер кривых, называемых фигурами Лиссажу.