Теория Бора для водородоподобных атомов.

Нильс Бор, знаменитый датский физик в 1913 г для объяснения наблюдаемых особенностей в спектрах излучения атомов выдвинул три постулата:

1. В атомах существуют особые стационарные орбитыэлектронов, двигаясь по которым онине излучают и не поглощают энергию. Находясь в таких стационарных состояниях, атом имеет энергии, образующие дискретный ряд значений: Е₁, Е₂, Е₃ …Е_n, которые называютуровнями энергииатома.

Стационарными могут быть только такие орбиты, на которых электрон имеет момент количества движения mVr_n, кратный целому числу:

mVr_n=n, (5.26.)

где m– масса электрона;

V- его скорость наn-й орбите;r_n – радиусn-й орбиты;

- постоянная Планка;;

n– главное квантовое число (n= 1, 2, 3,………,).

2. Второй постулат (правило частот): атом излучает или поглощает квант энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое.

Если электрон находится на первой орбите, то его энергия наименьшая из возможных; это нормальное состояние атома. Переход электрона на орбиту с n>1 может произойти только тогда, когда атом получит энергию извне (при поглощении фотона или при столкновении с другими атомами и частицами). Это ведет квозбуждению атома. Такое состояние атома малоустойчиво, и через некоторое малое время электрон возвращается в нормальное состояние. При этом испускается монохроматическое излучение с определенной длиной волны, которой в спектре соответствует определенная линия. Частотаэтого излучения может быть определена из соотношения:

ε =h =Е_n – E_k , (5.27)

где ε - квант энергии излучения (далее см. формулы 5.37 и 5.39);

- частота, излучаемая атомом при переходе электрона с n– ой орбиты наk- ю;

Е_n– энергия атома дляn– ой орбиты до излучения;

Е_k – энергия атома после излучения дляk– й орбиты.

Для атома водорода можно найти радиус n– ой орбиты и полную энергию Е_nстационарного состояния атома. Атом водорода состоит из одного протона (ядро) и одного электрона, он вращается по орбитам, которые будем считать окружности с радиусамиr_n. Сила притяжения электрона с элементарным зарядом е к ядру с таким же по величине зарядом е определяется законом Кулона (см. раздел 3.1). Она является центростремительной силой и удерживает электрон на орбите, т.е.

, (5.28)

где ε₀- электрическая постоянная.

Решая совместно уравнения (5.28) и (5.26), найдем радиусn-ой орбитыэлектрона

(5.29)

Для первой боровской орбиты электрона (n= 1) радиус будет иметь значение

(5.30)

(а₀=52,9·10^-12м).

Тогда для любой n-ой орбиты

r_n= a₀n² (5.31)

Полную энергию Еатома водорода найдем как сумму кинетической энергии движения электрона Е и потенциальной энергииUего взаимодействия с ядром (протоном в атоме водорода):

Е_n=E+U (5.32)

Кинетическая энергия . С учетом формул (5.28.) и (5.29.) имеем

(5.33)

Потенциальную энергию Uрассчитаем как величину, численно равную работе А, необходимой для удаления электрона из атома с орбитыr_nв бесконечность ():

Подставляя в полученный результат величину r_nиз формулы (5.29), имеем

(5.34)

Сравнивая формулы (5.33) и (5)34, заметим, что U= -2E.

Зная Е и U, можно, найти полную энергию стационарного состояния атома, для наn-ой стационарной орбиты

, (5.35)

для k-ой стационарной орбиты

(5.36)

Подставляя Е_nи Е_kв формулу (5.27), получим уравнение для определения энергии ε, излучаемой (или поглощаемой) атомом при переходе электрона с одной орбиты на другую:

(5.37)

Удаление электрона из атома водорода (этот процесс называется ионизацией атома) требует затраты энергии, которая в соответствии с формулой (5.37) имеем величину

(5.38)

Е_jназываютэнергией ионизацииатома. Для атома водорода подсчитанная по формуле (5.38) величинаДж (или 13,6 эВ). Формулу (5.37) можно также выразить через Е_j:

, (5.39)

а формулу (5.35) для расчета энергии электрона в атоме водорода на любой n-ой орбите (или уровня энергии атома при данном квантовом числеn) можно переписать в виде

(5.40)

В нормальном состоянии (т.е. в невозбужденном атоме) электрон находится на стационарной орбите с n=1. Тогда энергия электрона, соответствующая основному состоянию атома водорода

Дж (или –13,6 эВ).

Придавая другие значения числу n(2, 3, 4, …), по формуле (5.40) можно определить все уровни энергии в атоме водорода. Перевод электрона на орбиту сn=, т.е. удаление его из атома, соответствует ионизации. Если электрон удален из атома, то потенциальная энергияUего взаимодействия с ядром равна нулю и полная энергия Е_nопределяется лишь кинетической энергией электрона Е. Наименьшее значение Е=0. Таким образом, энергия атома водорода может изменяться в интервале от –13,6 эВ до 0, принимая дискретные значения Е₁, Е₂, Е₃, …, Е_n(рис.5.8.)

Рис.5.8

Возвращение атома в нормальное состояние может происходить ступенчато, как показано на схеме (рис.5.8.). Например, возможен переход с любого уровня n≥2 на нормальный уровень 1. В спектре излучения водорода это соответствует серии линийЛаймана. Величина испущенных квантов энергии этой серии может быть вычислена по формуле (5.39.):

,n= 2, 3, 4, …,.

В спектре водорода серия линий Лаймана расположена в ультрафиолетовой области.

Возможен также переход с любого вышележащего уровня на уровень k=2.

,n= 3, 4, 5, …,

что ведет к излучению другой серии линий в спектре водорода, серии Бальмера(рис.5.8). Она лежит ввидимой области спектра.

Переход атомов с вышележащих уровней на уровни 3, 4, т.д. приводит к излучению новых серий в спектре водорода, также невидимых, лежащих уже в инфракраснойобласти. Так приk= 3 иn= 4, 5, 6, …,образуется серия Пашена:

и т.д.

Связь между квантом энергии ε и длиной волны λ можно получить по формуле Планка:

ε=hc/

Величина R=E_j/hназывается постоянной Ридберга (R=1,1·10⁷м^-1илиR=3,29·10¹⁵с^-1)

Таким образом, теория Бора объяснила структуру спектра излучения атома водорода. Однако для более сложных атомов она уже не дает хороших результатов, отвечающих опытным данным. Для расчета λ можно воспользоваться формулой Бальмера:

, (5.41)

где Z– номер элемента в таблице Менделеева.

При больших квантовых числах nэнергетические уровни (рис.5.8) сближаются и квантование энергии дает результаты, близкие к результатам классической физики –принцип соответствия Бора.

Реально для электрона в атоме водорода уравнение Шредингера будет иметь вид (5.23), т.к. потенциальная энергия, определяющая взаимодействие электрона с ядром, не равна нулю (U0). Собственные функции, удовлетворяющие уравнению (5.23), будут содержать кроме главного числаnеще и другие параметры:

ℓ - орбитальное квантовое число (ℓ=0, 1,2, …, n-1);

m– магнитное квантовое число (m= 0, ±1, …, ±ℓ, ±(ℓ ± 1), т.е 2ℓ+1 значений).

Таким образом, каждому Е_nбудет соответствовать набор волновых функций с различными ℓ иm. Это означает, что атом водорода может иметь одно и тоже значение энергии Е_n, находясь в различных состояниях. Состояние с одинаковыми Е_nназываютсявырожденными, а число различных состояний –кратностью вырождения.

Электрон, движущийся в атоме, можно рассматривать как элементарный ток с собственным магнитным моментом (рис.3.24). В квантовой теории стационарными будут состояния, характеризуемые магнитным квантом числом m:

Δр_m=m

Эффект Зеемана. Линии спектров некоторых веществ обнаруживают тонкую структуру, т.е. состоят из нескольких близко расположенных линий. Так при наблюдении свечения паровNaв магнитном поле происходит расщепление линий спектра. Это навело на мысль, что электрон обладает, кроме орбитального, еще и собственным магнитным моментом и моментом количества движенияL–спином. Спин является внутренним свойством электрона. Величина спина определяется спиновым квантовым числомS= ±1/2 (спином обладают протоны и др. частицы).

Наличие спина у электрона подтверждено опытами Штерна и Герлаха, наблюдавшим расщепление пучка атомов водорода в магнитном поле.