Теорема Остроградского – Гаусса и ее применение к расчету полей

Определим поток Nвектора напряженности поля зарядовQ₁,Q₂, …Q_nчерез произвольнуюзамкнутуюповерхность, окружающую эти заряды.

Рассмотрим сначала случай сферической поверхности S_сфрадиусомr, в центре которой в вакууме (ε =1) находится точечный зарядQ(рис.3.3)

Рис.3.3

Напряженность Е во всех точках поверхности сферы одинакова, а линии вектора Е перпендикулярны поверхности сферы. Тогда согласно (3.4) и (3.7) поток N_Eв вакууме

Так как площадь поверхности сферы S = 4πr², то

,

и поток вектора напряженности заряда Q

(3.8)

Окружим теперь заряд замкнутой поверхностью Sпроизвольной формы. Как видно из рис. 3.3, каждая силовая линия, пронизывающая сферу, пронижет и поверхностьS. Следовательно, формула (3.8) справедлива и для любой замкнутой поверхности.

Если поток Nсоздаетсяnзарядами, то он равен сумме потоков, создаваемых каждым из зарядов:

или окончательно:

(3.9)

Формула (3.9) выражает теорему Остроградского-Гаусса:поток вектора напряженности N через любую замкнутую поверхность, пропорционален алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

В случае равномерного распределения заряда по объему Vтела с объемной плотностьюρформула (3.9) может быть записана.