5.2. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью ω (рис. 16).

Выделим произвольную точку M_k с координатами x_k, y_k, z_k, движущуюся со скоростью . Очевидно, что траектория движения точки M_k – это окружность радиусом , с центромO^/ на оси вращения.

Рис. 16. Кинетический момент вращающегося твердого

тела относительно оси вращения

По третьей формуле (4.18^/) определим кинетический момент рассматриваемой точки относительно оси Oz:

(А)

где m_k – масса рассматриваемой материальной точки.

Из геометрических соображений, получим

,

,

(B)

,

.

Подставляя (В) в (А), получим

.

Учитывая основное тригонометрическое тождество, получим

.

Из кинематики твердого тела известно, что

.

Окончательно для кинетического момента точки M_k получим

.

Суммируя, по всем точкам, получим выражение для определения кинетического момента твердого тела относительно оси вращения Oz

.

По формуле(3.4) имеем - момент инерции тела относительно осиOz.

Окончательно для кинетического момента твердого тела относительно оси его вращения, получим

. (4.20)

Таким образом, кинетический момент вращающегося твердого тела относительно его оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость тела.

Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения является алгебраической величиной. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Знак совпадает со знаком угловой скорости. Если вращение твердого тела происходит против часовой стрелки, то кинетический момент считается положительным, если по часовой стрелке – отрицательным.