3. Закон сохранения механической энергии

Пусть материальная точка M массой m совершает движение со скоростью в потенциальном силовом поле. Рассмотрим закон сохранения механической энергии для точки.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии для точки в интегральной форме (4.67)

.

Работу потенциальных сил в определим по формуле (5.4)

.

Подставляя последнее выражение в теорему, получим

,

,

где ,- кинетическая и потенциальная энергия материальной точки в произвольный (текущий) момент времени,

, - кинетическая и потенциальная энергия материальной точки в начальный момент времени,

Полная механическая энергия материальной точки представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий и обозначается .

Таким образом, получим

. (5.9)

Уравнение (5.8) выражает закон сохранения механической энергии для материальной точки. Этот закон формулируется следующим образом: при движении материальной точки в потенциальном силовом поле её полная механическая энергия остаётся постоянной величиной.

Проведем аналогичные рассуждения и получим закон сохранения механической энергии для механической системы.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме (4.69)

.

Используя выражение для суммы работ потенциальных сил (5.7), получим

,

где - потенциальная энергия системы в ее начальном положении,

- потенциальная энергия системы в ее текущем положении.

Подставляя второе уравнение в первое, получим

,

.

Обозначая полную механическую энергию системы , окончательно имеем

. (5.10)

Формула (5.9) выражает закон сохранения механической энергии для системы, который формулируется следующим образом: полная механическая энергия системы при её движении в потенциальном силовом поле внешних и внутренних сил является постоянной величиной.

В случае абсолютно твёрдого тела работа всех внутренних сил равна нулю и, следовательно, потенциальная энергия внутренних сил будет постоянной величиной, которую можно принять равной нулю.

Тогда в формуле (5.9) за потенциальную энергию следует принимать только потенциальную энергию внешних сил, которая вместе с кинетической энергией является постоянной величиной.

При движении изменяемой механической системы сумма потенциальной энергии внешних сил и кинетической энергии не является постоянной величиной, так как необходимо учитывать потенциальную энергию внутренних сил.

Механические системы, для которых выполняется закон сохранения полной механической энергии, называются консервативными системами.

При движении механической системы в непотенциальном силовом поле в случае, если непотенциальность связана с действием сил сопротивления (например сил трения), механическая энергия уменьшается на величину работы сил сопротивления.

Потерянная часть механической энергии, как правило, переходит в тепловую энергию. Полные энергии всех видов (механическая, тепловая, химическая и т.д.) не изменяются при движении системы или точки в любом силовом поле, при этом происходит превращение одного вида энергии в другую.