6.7. Теорема об изменении кинетической энергии для механической системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n точек. Обозначим равнодействующую внешних сил, приложенных к произвольной точке системы , как, а равнодействующую внутренних сил как. Массу точки обозначим, а скорость -. По теореме об изменении кинетической энергии для каждой точки системы (4.65), получим

,

где k = 1,2,3,…,n.

Суммируя, правые и левые части этого выражения по всем точкам рассматриваемой системы, получим

,

.

Рассмотрим слагаемые, вошедшие в последнее выражение. Первое слагаемое правой части представляет собой сумму элементарных работ всех внешних сил, действующих на все точки системы, то есть

.

Второе слагаемое правой части представляет собой сумму элементарных работ всех внутренних сил, действующих на все точки системы, поэтому

.

Левая часть выражения, учитывая формулу (4.60) , представляет собой дифференциал от кинетической энергии, рассматриваемой механической системы. То есть

.

Учитывая приведенные выражения, окончательно получим

. (4.68)

Формула (4.68) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме. Эта теорема формулируется следующим образом: дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Интегрируя (4.68) между начальным и конечным положением системы, получим

,

, (4.69)

где - кинетическая энергия системы в её начальном положении,

- кинетическая энергия систем в конечном положении,

- полная работа внешней силы , действующей на точкупри ее перемещении из начального положенияв конечное, определяемая по формуле

.

- полная работа внутренней силы , действующей на точкупри ее перемещении из начального положенияв конечное, определяемая по формуле

.

Формула (4.69) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме, которая формулируется, следующим образом: изменение кинетической энергии системы при её перемещении из начального положения в конечное равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему на этом перемещении.

Если разделить (4.68) на , получим

или

. (4.70)

где - сумма мощностей всех внешних сил, действующих на систему,

- сумма мощностей всех внутренних сил, действующих на систему.

Формула (4.70) выражает теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме, формулируемую следующим образом: первая производная по времени от кинетической энергии системы равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Для механических систем, состоящих из абсолютно твердых тел и абсолютно гибких нерастяжимых нитей, справедливы формулы (4.57), (4.58) и (4.59):

, ,.

Следовательно, для таких механических систем получим

,

,

.

Таким образом, для механических систем, состоящих из абсолютно твердых тел и абсолютно гибких нерастяжимых нитей изменение кинетической энергии определяется только внешними силами, действующими на систему.