3.4. Теорема об изменении количества движения для системы

Рассмотрим механическую систему из n точек. Пусть к каждой точке системы массой и движущейся со скоростьюприложены равнодействующая всех внешнихи всех внутреннихсил. Применяя теорему об изменении количества движения для каждой точки системы (4.8), получим

, .

Суммируя по всем точкам системы и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим

.

Учитывая свойство внутренних сил системы (4.1) и определение количества движения (4.5) системы

,,

получим

.(4.11)

Формула (4.11) выражает теорему об изменении количества движения для системы в дифференциальной форме. Эта теорема формулируется следующим образом: производная по времени от вектора количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проецируя (4.11) на оси декартовой системы координат, получим

,

, (4.11^/)

.

Таким образом, производная по времени от проекции вектора количества движения системы на какую-либо координатную ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось.

Умножая обе части (4.11) на dt, получим

.(4.12)

То есть дифференциал от вектора количества движения системы равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на рассматриваемую механическую систему.

Интегрируя (4.12) по времени от нуля до t, получим теорему об изменении количества движения (теорему импульсов) для системы в конечной или интегральной форме

,(4.13)

где– вектор количества движения системы в моментt₀ = 0,

–вектор количества движения системы в момент t,

–импульс внешней силы, действующей на k – ю точку за время t;

.

Теорема об изменении количества движения для системы в интегральной форме (4.13) формулируется следующим образом: изменение вектора количества движения системы за какое-либо время равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему за то же время.

Проецируя (4.13) на оси декартовой системы координат, получим

,,. (4.13^/)

Внешние силы системы не входят явно в теорему об изменении количества движения системы и, следовательно, не могут напрямую влиять на изменение количества движения системы. Они могут влиять на изменение количества движения только через внешние силы.