logo
Лекции 1 курс 2 семестр печать

2.Гармонічні коливання тягаря на пружині

Розглянемо рух тягаря, прикріпленого до пружини. Тягар має отвір, у який вставлено горизонтально розміщений стержень (мал. 2.1, 2.2).

Для спрощення розглянемо ідеальний випадок, коли тертя відсутнє, тобто немає втрат механічної енергії. Пізніше з'ясуємо вплив тертя на характер руху тягаря. Коли на тягар у горизонтальному напрямку не діють зовнішні сили, то він перебуває у стані рівноваги (див. мал. 2.1, а). Сила тяжіння, яка діє на тягар, зрівноважується дією сили реакції стержня. Ці сили на рух тягаря не впливають. Будемо відлічувати зміщення тягаря від положення рівноваги ОО'. Коли тягар перебуває справа від положення рівноваги, зміщення х вважатимемо додатними, а коли зліва — від'ємними. Щоб тягар почав рухатися, його необхідно вивести зі стану рівноваги (див. мал. 2.1, б). При цьому, відповідно до закону Гука, виникне сила пружності, яка діє на тягар і напрямлена до положення рівноваги. З цього моменту й починаємо розгляд руху. Якщо тягар відпустити, то під дією сили пружності пружини він почне рухатись до положення рівноваги, при цьому швидкість його руху зростатиме. В момент проходження тягарем через положення рівноваги його швидкість буде максимальною, а прискорення дорівнюватиме нулю (мал. 2.2, а). Рухаючись далі, тягар стискує пружину, в ній виникає сила пружності, спрямована до положення рівноваги. Дійшовши до крайнього лівого положення, тягар буде рухатися до положення рівноваги (мал. 2.2, б). Якщо розглядати ідеальний випадок, коли немає втрат механічної енергії, то рухи справа вліво і зліва вправо періодично повторюватимуться нескінченно довго. Саме періодичність і є найхарактернішою особливістю коливальних рухів.

Періодичність є найхарактернішою особливістю коливальних рухів.

Проаналізуємо коливання тягаря під дією пружини. Коли тягар масою т зміщений від положення рівноваги на х (у положенні рівноваги х = 0), то на нього діє сила F = - kx, де k — жорсткість пружини (знак «—» означає, що сила у будь-який момент часу напрямлена в бік, протилежний зміщенню). За другим законом динаміки Ньютона F = mа. Тому рівняння, яке описує рух тягаря, матиме такий вигляд: 

                   або

У цьому рівнянні величина  завжди додатна, оскільки жорсткість пружини і маса тягаря не можуть набувати від'ємних значень. Відомо, що будь-яке число в квадраті  є додатним. Тому величину можна позначити як ω 2  ,тоді рівняння руху тягаря буде таким:

Коли ви згодом вивчатимете основи диференціального й інтегрального числення, то зможете знайти розв'язок одержаного рівняння, а тут наведемо його в остаточному вигляді: де xmax  і  — сталі   величини,  які  можна знайти з початкових умов руху. Величину (ωt + ) називають фазою коливанння а величину — початковою фазою.

Розв'язок рівняння може бути и таким:  але в цьому разі іншою буде початкова фаза . Останні два рівняння називають рівняннями гармонічного коливального руху.

Впевнитись у тому, що коливання відбуваються за законом косинуса чи синуса, можна й на досліді. До тягаря (див. мал. 2.1, 2-2) слід прикріпити перо з чорнилом або фарбою, вивести тягар із положення рівноваги і відпустити. Водночас у перпендикулярному до коливань напрямку рівномірно рухатимемо під тягарем чистий аркуш паперу, на якому одержимо графічне зображення гармонічних коливань (мал. 2.3). Такий характер можуть мати й електромагнітні коливання, про що ви дізнаєтеся з подальшого вивчення фізики.

Якщо здійснювати коливання з початковою фазою, що дорівнює нулю (= 0), то легко встановити фізичну сутність величин xmax  і w. У цьому разі х = xmaxcoswt і в початковий момент руху t = 0, x = xmax (мал. 2.4, положення тягаря у точці 1). Це максимальне зміщення тягаря від положення рівноваги, яке називають амплітудою коливання. Проаналізуємо рух тягаря, відпущеного у точці 1 (мал. 2.4). , тіло перебуває у положенні рівноваги (точка 2). Якщо (wt = π, то х= -хmах х = 0, тіло перебуває у точці 4. За wt = 2π  х = хmaх, тобто тіло повертається у вихідне положення, здійснивши одне повне коливання. За одне повне коливання тіло проходить усі точки траєкторії (крім крайніх) двічі — спочатку в одному напрямку, а потім у протилежному.

Інтервал часу, протягом якого тіло здійснює одне повне коливання, називають періодом коливання Т.

Максимальне зміщення тягаря від положення рівноваги називають амплітудою коливання.

Для розглянутого прикладу

, звідки

Отже, величина w показує, яку кількість коливань здійснює тіло за 2π секунд. Цю величину називають коловою, або циклічною, частотою. У процесі дослідження коливань користуються поняттям частоти f Частота коливань f показує, яку кількість коливань тіло здійснює за одну секунду. Легко помітити, що w = 2πf а  . За міжнародною системою період визначають у секундах, а частоту — в одиницях за секунду. Ця одиниця названа герцом (Гц) на честь німецького фізика Генріха Герца, котрий у 1884 р. експериментально довів наявність електромагнітних хвиль. Тепер можемо одержати формулу для визначення періоду коливань тягаря на пружині (див. мал. 2.1, 2.2).

Якщо , то , а період коливань , тоді частота коливань  .

За такими самими формулами визначають величини, які описують коливання тягаря на пружині, що підвішена вертикально (мал. 2.5).

У цьому разі сила тяжіння, що діє на тягар, зміщує лише положення рівноваги, а на характер коливань не впливає.Коли тіло здійснює коливання, то періодично змінюються не лише його зміщення, а й швидкість та прискорення. У точках максимального відхилення від положення рівноваги (х = xmax і х = -хmах) швидкість руху тіла дорівнює нулю, а прискорення максимальне, оскільки на тіло діє максимальна сила. Під час проходження тілом положення рівноваги  швидкість максимальна,  а  прискорення дорівнює нулю, бо сила, що діє на тіло, дорівнює нулю. Координата, швидкість та прискорення під час коливання змінюються з однаковим періодом Т.

Величина w показує, яку кількість коливань здійснює тіло за 2π секунд. Цю величину називають коловою, або циклічною, частотою.

Частота коливань f показує, яку кількість коливань тіло здійснює за одну секунду.

Коли тіло здійснює коливання, то періодично змінюються не лише його зміщення, а й швидкість та прискорення.