5.Математичний маятник

Математичним маятником вважають точкове тіло, підвішене до нерозтяжної і невагомої нитки. Математичний маятник — це поняття абстрактне, тому що: по-перше, у природі не існує точкових тіл, а по-друге, немає абсолютно нерозтяжних і невагомих ниток. Проте з певним наближенням математичним маятником можна вважати кульку, підвішену на нитці (мал. 2.8).

Коли кулька перебуває в стані рівноваги, то на неї діють сила тяжіння  та сила пружності нитки  які зрівноважують одна одну, тобто рівнодійна цих сил дорівнює нулю. Якщо ж маятник відхилити від положення рівноваги на кут ер, то на кульку так само діятимуть сили тяжіння та пружності нитки, але їх рівнодійна  тепер уже має певне значення, напрямлена перпендикулярно до нитки маятника і діє у напрямку до положення рівноваги. Саме ця сила і викликає коливання маятника. Якщо кут φ малий, то sinφ ~ φ і сила, що викликає коливання, пропорційна куту відхилення нитки:

Такий самий характер має сила, що спричиняла коливання кульки, прикріпленої до пружини, яку розглядали вище. Ця сила діє по дотичній до траєкторії руху кульки маятника і надає їй так званого тангенціального прискорення: де l— довжина маятника (сумарна довжина нитки маятника і радіуса кульки); є — кутове прискорення руху маятника.

За другим законом Ньютона

Останнє рівняння аналогічне рівнянню а = - к х/m,  що описує  коливання тягаря  на пружині.

Розв'язки обох рівнянь однакові. Якщо позначити  то колова частота коливань математичного маятника  Оскільки період коливань   то період коливань математичного маятника буде де l — довжина маятника; g — прискорення вільного падіння у точці, де перебуває маятник. Це формула Гюйгенса для періоду коливань математичного маятника. Загальною умовою виникнення механічних коливань є пропорційність прискорення руху тіл зміщеню, взятому зі знаком мініс: . У випадку криволінійного руху прискорення можна розділити на доцентрове, яке характеризує швидкість зміни напрямку швидкості, та тангенціальне, що характеризує швидкість зміни швидкості за значенням. Кутове прискорення характеризує швидкість зміни кута повороту тіла при обертовому русі чи коливаннях навколо певних осей.

Період коливань математичного маятника

Формула Гюйгенса для періоду коливань математичного маятника:

За допомогою маятників можна знаходити корисні копалини.

З теоретичних міркувань, викладених у цьому параграфі, можна дійти таких висновків: 1.  Період коливань математичного маятника за малих амплітуд не залежить від амплітуди коливань. Ця властивість була відкрита Г. Галілеєм у 1583 р. і названа ізохронністю (рівночасністю). 2.  Період коливань не залежить від маси маятника.

3.  Період коливань прямо пропорційний квадратному кореню з довжини маятника.

4.  Період коливань обернено пропорційний квадратному кореню з прискорення вільного падіння.

Відомо, що в різних місцях земної кулі прискорення вільного падіння різне. Воно залежить не лише від форми Землі, а й від наявності під поверхнею важчих (руди різних металів ) чи легших (газ, нафта) речовин. Тому й період коливань маятника у таких місцях різний. Отже, за допомогою маятників можна знаходити корисні копалини, тобто допомагати геологічній розвідці.

ЗАПИТАННЯ 1. Наведіть приклади коливань. Які з них є механічними?

2. Що таке період, частота та колова, або циклічна, частота коливань? Як ці величини пов'язані між собою?

3. Яка основна одиниця вимірювання частоти? Що ви можете сказати про коливання тіл, які мають частоти коливань 0,5; 1,0 і 2,0 Гц?

4. Які величини, що характеризують коливальний рух, змінюються періодично?

5. Які властивості повинні мати сили, що викликають коливальний рух?

6. Які коливання вважають гармонічними?

7. В яких точках траєкторії тіло, що коливається, має лише потенціальну енергію?

8. В які моменти руху тіло, що коливається, має лише кінетичну енергію?

9. Як визначають потенціальну енергію тіла, що коливається? Яке максимальне значення може мати ця енергія?

10. Яке максимальне значення кінетичної енергії може мати тіло, що коливається? Яке у цьому разі значення швидкості тіла?

11. Яку повну механічну енергію має тіло, що коливається, у будь-якій точці траєкторії?

12. Чому в реальних системах відбуваються втрати механічної енергії?

13. За яких умов коливання не припинялися б взагалі?

14. За яких умов спостерігаються вільні коливання? Який характер має їхній графік?

15. За яких умов коливання зовсім неможливі?

16. Чи існують у природі власні коливання?

17. Які сили діють на кульку, підвішену на нитці, під час її коливання? Як ці сили змінюються? 18. Якими мають бути кулька та нитка, щоб маятник можна було вважати математичним? 19. Які умови потрібно забезпечити, щоб коливання були гармонічними?

20. Як зміниться період коливань маятника, якщо масу кульки збільшити (зменшити)? 21. Якою має бути амплітуда коливань маятника, розглянутого в цьому параграфі?