4.1. Определения и общие формулы
Моментом инерции массы системы относительно точки (полюса) O называется сумма произведений масс точек на квадраты их расстоянийдо точки O. Момент инерции массы системы относительно точки определяют по формуле
(3.3)
Моментом инерции массы системы относительно оси Oz называется сумма произведений масс точек на квадраты их расстоянийдо осиOz. Момент инерции массы системы относительно оси определяют по формуле
(3.4)
Моментом инерции массы системы относительно плоскости xOy называется сумма произведений масс точек на квадраты их расстоянийдо плоскостиxOy. Момент инерции массы системы относительно плоскости определяют по формуле
(3.5)
Моментом инерции массы твердого тела относительно какой-либо оси Oz является предел суммы произведений всех элементов массы тела на квадраты соответствующих расстоянийдо этой осиOz при условии, что каждый элемент массы стремится к нулю. Момент инерции массы твердого тела относительно плоскости определяют по формулам
,(3.6)
.(3.7)
В Международной системе единиц момент инерции измеряется в кг · м2,
.
При решении задач момент инерции твердого тела относительно оси представляют как произведение массы тела на квадрат некоторого расстояния, называемым радиусом инерции,
. (3.8)
где –радиус инерции тела относительно оси,
. (3.9)
Учитывая зависимость радиус-вектора точки от ее координат , для момента инерции механической системы относительно начала координат по формуле (3.3) получим,
,
где - массаk-й точки системы,
- радиус вектор k-й точки системы,
- координаты k-й точки системы.
Осевые моменты инерции системы можно выразить формулами
; ;.
Складывая осевые моменты инерции, получим
. (3.10)
Формула (3.10) выражает связь между моментами инерции относительно осей координат и моментом инерции относительно начала координат.
- Д.А. Смирнов динамика
- Часть II
- 1. Пояснительная записка
- 2. Рабочая программа дисциплины
- 2.1. Распределение часов лекционных и практических занятий по темам
- 2.2. Описание содержания основных тем курса
- 2.2. Вторая аксиома динамики
- 2.3. Третья аксиома динамики
- 2.4. Четвертая аксиома динамики
- Тема 2. Динамика материальной точки
- 1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- 1.1. Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме
- 1.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- 2. Две основные задачи динамики материальной точки
- 2.1. Первая основная задача динамики материальной точки
- 2.2. Вторая основная задача динамики материальной точки
- 3. Динамики относительного движения материальной точки
- 4. Невесомость материальной точки
- Тема 2. Механика системы
- 1. Понятие механической системы
- 2. Центр масс системы
- 3. Статические моменты массы системы
- 4. Моменты инерции
- 4.1. Определения и общие формулы
- 4.2. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (Теорема Штейнера)
- 4.3. Моменты инерции простейших однородных тел
- Тема 3. Общие теоремы динамики механической системы
- 1. Понятие о внутренних и внешних силах системы
- 2. Дифференциальные уравнения движения системы
- 3. Теорема об изменении количества движения для точки и системы
- 3.1. Количество движения для точки и системы
- 3.2. Элементарный и полный импульс силы
- 3.3. Теорема об изменении количества движения для точки
- 3.4. Теорема об изменении количества движения для системы
- 3.5. Частные случаи теоремы об изменении количества движения для системы (Законы сохранения количества движения)
- 4. Теорема о движении центра масс системы. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- 4.1. Теорема о движении центра масс системы
- 4.2. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- 5. Теорема об изменении кинетического момента для точки и системы
- 5.1. Кинетический момент точки и системы
- 5.2. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения
- 5.3. Теорема об изменении кинетического момента для материальной точки
- 5.4. Теорема об изменении кинетического момента для системы
- 5.5. Законы сохранения кинетических моментов
- 5.6. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- 5.7. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- 6. Теорема об изменении кинетической энергии
- 6.1. Элементарная работа силы
- 6.2. Полная работа силы
- 6.3. Мощность
- 6.3. Примеры вычисления работы и мощности силы
- 6.3.1. Случаи, когда работа силы равна нулю
- 6.3.2. Работа силы тяжести
- 6.3.3. Работа линейной силы упругости
- 6.3.4. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу
- 6.4. Работа внутренних сил твердого тела
- 6.5. Кинетическая энергия
- 6.5.1. Кинетическая энергия материальной точки и системы
- 6.5.2. Кинетическая энергия твердого тела
- 6.5.2.1. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении
- 6.5.2.2. Кинетическая энергия твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси
- 6.5.2.3. Кинетическая энергия твердого тела при его плоском движении
- 6.6. Теорема об изменении кинетической энергии для точки
- 6.7. Теорема об изменении кинетической энергии для механической системы
- Тема 4. Закон сохранения полной механической энергии
- 1. Потенциальная энергия материальной точки
- 2. Потенциальная энергия механической системы
- 3. Закон сохранения механической энергии
- Тема 5. Метод кинетостатики
- 1. Принцип Даламбера для материальной точки
- 2. Принцип Даламбера для механической системы