6.3.4. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу
Рассмотрим формулы для определения работы и мощности силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, совершающего поступательное или вращательное движение.
1. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, совершающему поступательное движение.
Рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение по отношению к инерциальной системе отсчета под действием силы , приложенной в произвольной точке(рис. 24).
В случае поступательного движения твердого тела все его точки движутся со скоростями одинаковыми по величине и направлению. Обозначим скорость тела .
Используя формулу (4.31), получим
, (4.49)
где - дифференциал радиус-векторапроизвольной точки твердого тела.
Рис. 24. Поступательное движение твердого тела под действием силы
Поделив (4.49) на dt, получим выражение для определения мощности силы, действующей на тело, совершающее поступательное движение:
, (4.50)
где - угол между векторами силыскорости.
То есть мощность силы при поступательном движении твердого тела определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор скорости твердого тела.
Интегрируя (4.49) на каком-либо конечном перемещении точки M из начального положения М0 в положение М1, получим полную работу силы, действующей на тело на этом перемещении
. (4.51)
2. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, совершающему вращательное движение.
Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной вертикальной оси Oz под действием силы , приложенной в произвольной точке этого телаМ (рис. 25).
Рис. 25. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Положение точки М в осях Oxyz определяется радиус-вектором . Скорость точкиМ направлена по касательной к траектории движения (окружность с центром на оси вращения). Вектор этой скорости можно определить по векторной формуле Эйлера, известной из курса кинематики твердого тела
, (4.52)
где - вектор угловой скорости вращения твердого тела.
Используя формулу (4.32), получим
.
Меняя в круговом порядке сомножители в смешанном векторном произведении, получим
,
,
где - векторный момент силы, относительно центраO.
- угол между векторами момента и угловой скорости.
Учитывая, что:
1. - момент силы, относительно оси вращенияOz.
2. и следовательно,
окончательно получим
. (4.53)
Таким образом, элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента этой силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.
Для определения полной работы силы при повороте тела на угол φ, проинтегрировав выражение (4.53), получим
. (4.54)
В случае когда , полную работу можно определить по формуле
, (4.55)
где φ – угол поворота тела, на котором определяют работу силы.
Если направление момента и угловой скоростисовпадают, то работа силы считается положительной, в противном случае – отрицательной.
Определим мощность силы при вращении твердого тела вокруг оси. Используя формулу (4.40), получим
. (4.56)
То есть мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу, определяется как произведение момента силы относительно оси вращения на угловую скорость тела. Знак мощности определяется аналогично знаку работы.
- Д.А. Смирнов динамика
- Часть II
- 1. Пояснительная записка
- 2. Рабочая программа дисциплины
- 2.1. Распределение часов лекционных и практических занятий по темам
- 2.2. Описание содержания основных тем курса
- 2.2. Вторая аксиома динамики
- 2.3. Третья аксиома динамики
- 2.4. Четвертая аксиома динамики
- Тема 2. Динамика материальной точки
- 1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- 1.1. Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме
- 1.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- 2. Две основные задачи динамики материальной точки
- 2.1. Первая основная задача динамики материальной точки
- 2.2. Вторая основная задача динамики материальной точки
- 3. Динамики относительного движения материальной точки
- 4. Невесомость материальной точки
- Тема 2. Механика системы
- 1. Понятие механической системы
- 2. Центр масс системы
- 3. Статические моменты массы системы
- 4. Моменты инерции
- 4.1. Определения и общие формулы
- 4.2. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (Теорема Штейнера)
- 4.3. Моменты инерции простейших однородных тел
- Тема 3. Общие теоремы динамики механической системы
- 1. Понятие о внутренних и внешних силах системы
- 2. Дифференциальные уравнения движения системы
- 3. Теорема об изменении количества движения для точки и системы
- 3.1. Количество движения для точки и системы
- 3.2. Элементарный и полный импульс силы
- 3.3. Теорема об изменении количества движения для точки
- 3.4. Теорема об изменении количества движения для системы
- 3.5. Частные случаи теоремы об изменении количества движения для системы (Законы сохранения количества движения)
- 4. Теорема о движении центра масс системы. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- 4.1. Теорема о движении центра масс системы
- 4.2. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- 5. Теорема об изменении кинетического момента для точки и системы
- 5.1. Кинетический момент точки и системы
- 5.2. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения
- 5.3. Теорема об изменении кинетического момента для материальной точки
- 5.4. Теорема об изменении кинетического момента для системы
- 5.5. Законы сохранения кинетических моментов
- 5.6. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- 5.7. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- 6. Теорема об изменении кинетической энергии
- 6.1. Элементарная работа силы
- 6.2. Полная работа силы
- 6.3. Мощность
- 6.3. Примеры вычисления работы и мощности силы
- 6.3.1. Случаи, когда работа силы равна нулю
- 6.3.2. Работа силы тяжести
- 6.3.3. Работа линейной силы упругости
- 6.3.4. Работа и мощность силы, приложенной к твердому телу
- 6.4. Работа внутренних сил твердого тела
- 6.5. Кинетическая энергия
- 6.5.1. Кинетическая энергия материальной точки и системы
- 6.5.2. Кинетическая энергия твердого тела
- 6.5.2.1. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении
- 6.5.2.2. Кинетическая энергия твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси
- 6.5.2.3. Кинетическая энергия твердого тела при его плоском движении
- 6.6. Теорема об изменении кинетической энергии для точки
- 6.7. Теорема об изменении кинетической энергии для механической системы
- Тема 4. Закон сохранения полной механической энергии
- 1. Потенциальная энергия материальной точки
- 2. Потенциальная энергия механической системы
- 3. Закон сохранения механической энергии
- Тема 5. Метод кинетостатики
- 1. Принцип Даламбера для материальной точки
- 2. Принцип Даламбера для механической системы