8.1.1. Математическая постановка задачи

Нелинейные уравнения узловых напряжений. При расчетах электриче­ских режимов ЭЭС на ЭВМ целесообразно использовать наиболее точные модели электрических нагрузок. Узловые нагрузки генераторов и потребителей задаются их нелинейной зависимостью от узловых напряжений (5.2) в виде узлового тока (нелинейного источника тока), т. е.

Отмеченная нелинейность проявляется при представлении в узлах нагрузки потребителей или генераторов неизменной мощностью (4.35)

либо при задании нагрузок потребителей их статическими характеристиками (4.24)

и баланса мощностей (5.4)

(8.2)

Эти же уравнения в матричной записи имеют вид:

Уравнения баланса токов

(8.3)

Уравнение баланса мощностей

(8.4)

Заметим, что в выражениях (8.1) — (8.4) значения токов в √З раз превыша­ют реальные фазные токи. Такая запись несколько упрощает систему УУН и по­этому является общепринятой [8, 46].

В данных уравнениях функции ω_Ii,. ω_Si, комплексных переменных напряжений узлов соответствуют небалансу полного тока или полной мощности в i-м узле; n+1 — число узлов ЭС, включая балансирующий с заданным напряжением неизменной фазой δ, равной нулю; U,S—n-мерные вектор-столбцы узловых междуфазных напряжений и комплексно-сопряженных нагрузок Si в узлах; diag — диагональная матрица сопряженных комплексов напряжений Ui; Y - матрица собственных и взаимных проводимостей с комплексными элементами Yij; Y₆ — вектор-столбец, i-й элемент которого равен Y_i6.

Матрица собственных и взаимных проводимостей узлов Y, играющая важную роль при формировании уравнений установившихся режимов, обладает следующими свойствами:

(8.4 а)

где Xij — собственная проводимость узла i, Y_ij — взаимная проводимость узлов i и j, определяемая продольным сопротивлением ветви Zij; Y_i0 — результирую­щая проводимость узла i на землю. В общем случае принято, что

активно-индуктивный элемент. Тогда полагаем для собственных проводимостей узлов

для взаимных проводимостей

С учетом комплексных коэффициентов трансформации k_ij

матрица Y теряет свойства симметричности.

Матрица Y для реальных ЭС, содержащих десятки и сотни узлов, является сильно разреженной (слабо заполненной); заполненность матрицы Y, как прави­ло, не превышает 2—5 %.

Простота расчета элементов матрицы Y в соответствии с (8.4 а), учет свойств

симметричности и разреженности матрицы обуславливают алгоритмические удобства формирования УУН и эффективность процедуры их решения, что в итоге и определяет широкое применение УУН при расчетах установившихся режимов реальных ЭС на ЭВМ.

Для построения алгоритмов расчета параметров установившегося режима на ЭВМ необходимо оперировать УУН с вещественными величинами. Предвари­тельное преобразование системы уравнений необходимо из-за отсутствия произ­водной комплексно-сопряженной величины , входящей в уравнения (8.1) по прямому U_i и сопряженному комплексу U_i (8.2) [8, 46]. Существуют два способа записи вещественных УУН: в прямоугольных и полярных координатах.

УУН в прямоугольной (декартовой) системе координат. Примем ком­плексные величины в виде

_(8.5)

В результате замены комплексов через их составляющие и выполнения не­сложных алгебраических преобразований в уравнениях (8.1) и (8.2), выделив в них отдельно действительные и мнимые составляющие небалансов токов

и небалансов мощностей

получим следующие системы нелинейных уравнений двойного порядка с вещест­венными коэффициентами:

в форме баланса активных и реактивных составляющих токов

(8.6а)

(8.6б)

и в форме баланса активных и реактивных мощностей:

(8.7а)

(8.7б)

Где — векторы действительных и мнимых составляющих напряжений, относительно которых решаются данные системы не­линейных уравнений.

УУН в полярной системе координат. В данной системе координат форми­руются УУН, в которых напряжения узлов представляются своими модулями (значениями) U = {U, /i = 1, n) и фазами напряжений δ = δ_i /i = 1, n} по отношению к напряжению балансирующего узла. Связь между представлениями напряжений в полярной и прямоугольной системе координат определяется следующими фор­мулами прямого и обратного преобразований [46]:

где U_i ,Y_ij,S_i- модули соответствующих комплексных величин; ψ_ij=arctgb_ij/g_ij; α_ij=arctg g_ij/b_ij.

В результате перехода к тригонометрической форме представления ком­плексных чисел, сгруппировав раздельно действительные и мнимые составляю­щие небалансов токов

и небалансов мощностей

получим следующие системы вещественных уравнений двойного порядка в по­лярной системе координат:

в форме баланса активных ω_ia, и реактивных ω_ir, составляющих токов

(8.8a)

(8.8б)

и в форме баланса активных и реактивных мощностей

(8.9а)

(8.9б)

Полученные системы УУН (8.8) и (8.9) нелинейные относительно искомых модулей U и фаз δ напряжений.

Таким образом, имеем четыре формы записи УУН (8.6) — (8.9). Переход от комплексных УУН к действительным как в форме баланса токов, так и в форме баланса мощностей приводит в общем случае к увеличению в 2 раза размерности систем нелинейных уравнений установившегося режима.

В отдельных случаях, в частности, при анализе режимов распределительных ЭС, нагрузки в узлах могут быть заданы неизменными модулями тока Ii и коэф­фициентом мощности cosφ_i. Тогда нелинейные зависимости выражений для тока в УУН (8.6)

(8.10)

и в УУН (8.8)

(8.11)

заменяются неизменными значениями составляющих токов

В результате такой замены нелинейные УУН (8.6) преобразуются в систему линейных алгебраических уравнений и в целом снижается трудоемкость решения УУН в форме баланса токов.

Функции ω_ia, ω_ir, ω_P, ω_Q описывающие небалансы (невязки) активных и ре­активных составляющих токов или мощностей в узлах сети, определяются как ре­зультат подстановки очередного (k-гo) приближения искомых переменных

в приведенные уравнения или, иначе, как разность между расчетными и узловыми (заданными) значениями токов

или мощностей

(8.11б)

Данные математические модели применимы для описания ЭС, не содержа­щих в своем составе генерирующих источников, кроме балансирующего по ак­тивной и реактивной мощности (станция, ведущая по частоте, узел типа U,δ). Во всех других п узлах нагрузки учтены, как правило, значениями требуемой актив­ной и реактивной мощности, принимаемых либо постоянными, либо изменяющи­мися в соответствии со статическими характеристиками (узлы типа Р, Q). В по­следнем случае выполняется корректировка мощностей нагрузок в зависимости от изменения модуля напряжения в итерационном процессе решения УУН.

Учет опорных узлов типа Р, U — const. В части генераторных узлов ЭЭС необходимо учесть заданные активную мощность Р, и модуль напряжения, кото­рые регулируются и могут быть фиксированными (опорные узлы типа Р, U). Та­кие узлы, представляющие большинство генераторов электростанций с первич­ным регулированием частоты, являются базисными по напряжению и баланси­рующими по реактивной мощности Q_i пределы изменения которой (располагае­мая реактивная мощность)

(8.12)

задаются константами, определяемыми допустимой нагрузкой статорной и роторной об­моток генератора (по активной мощности и возбуждению), условием сохранения устой­чивости его работы. Узлы со свободной реактивной мощностью также соответствуют регулируемым компенсирующим устройствам (Р=0, U = const).

Учет опорных узлов типа Р, U наиболее удобно выполнить применительно к УУН в форме баланса мощностей. Поскольку для n_г узлов типа P,U реактивные мощности не заданы в уравнениях, в прямоугольной системе координат вместо соответствующих уравнений баланса реактивной мощности (8.7 6) учитываются квадратные уравнения

(8.13)

сохраняя размерность результирующей системы (8.7).

Применительно к системе уравнений в полярных координатах (8.9) уравнения для реактивных мощностей данных типов узлов исключаются из УУН (8.9 б), а известные напряжения подставляются в остальные уравнения системы. Удобство учета заданных модулей напряжения опорных узлов (без уравнений (8.13)), снижение размерности УУН обусловило реализацию в программах расчета установившихся режимов, основанных на ньютоновских методах, преимущественно уравнений баланса мощностей (8.9). Запись уравнений в полярных координатах особенно удобна, когда заданы модули напряжении всех узлов ЭЭС. При этом система уравнений сводится к уравнениям баланса активных мощностей сети и имеет в два раза меньший размер, чем другие формы записи систем УУН [8,44,46].

Сложнее учитывать узлы данного типа применительно к УУН в форме ба­ланса токов, поскольку реактивная мощность входит как в уравнения реактивных составляющих токов (8.6 б), (8.8 б), так и в уравнения их активных составляющих (8.6 а), (8.8 а), что видно из выражений (8.10) и (8.11), поэтому при решении систем (8.6) и (8.8) неизменной размерности условие U_n = const рассматривается как дополнительное условие связи в виде (8.13). Указанная трудность учета гене­раторных узлов типа Р, U = const обуславливает применение методов уравнений баланса токов только для расчета сетей, не содержащих вовсе или содержащих малое количество опорных узлов [44, 46, 53]. В частности, в программах, реали­зующих метод Зейделя, чаще всего решаются уравнения баланса в токах (8.1), обеспечивающих простое получение соответствующих рекуррентных выражений. Выбор формы УУН и разделения переменных тесно связан с методом их решения, эффективностью соответствующих итерационных процессов, обуслов­лен удобством учета опорных узлов и других факторов и, в целом, требованиями, предъявляемыми к разрабатываемому программно-вычислительному аппарату.

8.1.2. Общая характеристика методов решения уравнений установившихся режимов ЭС

Выше даны математические модели установившихся режимов ЭС, исполь­зующие различные реализации УУН (8.1) — (8.2) в общем случае системы ком­плексных нелинейных уравнений, преобразованных к уравнениям (8.6) — (8.9), с действительными переменными (коэффициентами).

Определение напряжений U',U^* или U_iδ_i из уравнений (8.6) — (8.9) прин­ципиально возможно, однако нелинейность УУН не позволяет непосредственно (напрямую) решить эту задачу. Поскольку общих (точных) методов решения сис­тем нелинейных уравнений не существует, решение системы определяется чис­ленными методами, в силу нелинейной зависимости мощности от тока и напря­жения на методе последовательных приближений (итераций).

В связи с нелинейными характеристиками УУН возможны два подхода к их решению [44, 46, 47]:

1. Непосредственное решение исходных систем нелинейных УУН прибли­женными методами.

2. Линеаризация УУН и решение последовательности систем линеаризо­ванных (линейных) уравнений (СЛУ) точными или приближенными методами.

Точные (прямые) методы позволяют получить истинные значения неизвестных (корни уравнений) в результате выполнения конечного числа арифметических опера­ций, количество которых определяется только порядком системы уравнений.

Приближенные (итерационные) методы решения УУН позволяют получить истинное значение неизвестных системы лишь с заданной точностью в результате выполнения последовательности повторяющихся однотипных расчетов (итера­ций), число которых заранее неизвестно и зависит от скорости сходимости метода и принятых исходных приближений переменных. При этом количество арифме­тических операций определяется как порядком (размером) системы уравнении, так и числом итераций, за которые сходится итерационный процесс [44].

Основными требованиями, предъявляемыми к методам решения УУН на ЭВМ, является обеспечение надежности получения решений при сравнительно небольших затратах машинного времени и объема памяти [44, 46, 55].

Для более наглядной численной иллюстрации рассматриваемых ниже алгоритмов решения УУН, перепишем уравнение (8.6) — (8.9) в системе постоянного тока. Тогда имеем следующее уравнение в форме баланса токов:

(8.14)

и в форме баланса мощностей:

(8.15)

Для упрощения вычислений значения проводимостей, напряжений и за­дающих мощностей приняты вещественными, хотя для реальных ЭС переменного тока они являются комплексными.

Такой переход не отражается на структуре уравнений и принципиальной сторо­не алгоритмов, однако позволяет сократить объем вычислений, так как производятся операции не с комплексными, а с действительными уравнениями n-порядка.

Уравнения (8.14), (8.15) с действительными элементами являются точными уравнениями для ЭС постоянного тока и упрощенно описывают режим ЭС пере­менного тока, если сеть и нагрузки близки к однородным и падения напряжения относительно малы.

В общем случае УУН можно записать в виде системы неявных функций:

ω_i (U) = 0 , i = 1,n (8.16)

Такая запись означает, что при подстановке в уравнения точного решения функции их небалансов обращаются в нуль.

В силу нелинейности УУН (8.6) — (8.9) их решение относительно перемен­ных U при различных вычислительных схемах может быть получено только ите­рационно по следующему рекуррентному выражению

(8.17)

где ψ(U^(K) ) — n-мерная вектор-функция изменения переменных на k-й итерации. Способ построения ψ(U^(K)) и, следовательно, получения поправок переменных ΔU^(K+1) полностью определяет разновидность итерационного процесса. Суть их одна — начиная с некоторого вектора переменных U^(K) , называемого начальным (исходным) приближением, изменить на величину поправок ΔU^(K+1) значения его составляющих в направлении решения U^(K) . При этом точное решение систем нелинейных уравнений U можно получить лишь теоретически как результат бес­конечного итерационного процесса

Практически решение уравнений установившихся режимов считается достигнутым, если на (k+1)-й итерации каждое уравнение сбалансировано с допус­тимой погрешностью η:

(8.18)

Допустимая величина небаланса уравнений принимается, как правило, на 2-3 порядка меньше среднего значения мощностей (токов) в узлах ЭС

Указанный критерий (8.18) является наиболее строгим естественным пока­зателем точности решения уравнений, так как при подстановке в решаемую сис­тему уравнений точных значений неизвестных функции небалансов обращаются в нуль.

В первом приближении можно ограничиться контролем величины поправок переменных:

(8.19)

гдеξ, — значение допустимой поправки напряжения, принимаемой в пределах (0,1—0,5)% номинального напряжения ЭС.

Естественно, что снижение допустимых значений η и ξ приводит к увеличе­нию точности решения УУН. Вместе с тем за счет роста числа итераций увеличи­вается продолжительность расчетов.

Некоторые наиболее эффективные методы решения УУН рассматриваются ниже.