8.6. Сходимость, существование и неоднозначность решения уравнений установившегося режима

Все рассмотренные выше этапы решения задачи расчета установившегося режима ЭС основываются на корректных (выверенных) исходных данных. Одна­ко получение, настройка допустимого (желаемого) режима представляет собой не всегда тривиальную задачу. Режим может оказаться недопустимым или вовсе не может быть получен для принятых данных. В последнем случае искомое решение либо не существует, либо не сходится используемый итерационный метод.

Надежность и скорость вычислений существенно зависят от принятого ме­тода расчета, формы и записи УУН и связанной с ним сходимости итерационного процесса, определяемой параметрами режима и схемы замещения ЭС. Последние образуют многомерное пространство переменных параметров. Определенное со­четание этих параметров образует применительно к конкретному методу решения и форме уравнений некоторую допустимую многомерную область 8, в пределах которой обеспечивается сходимость алгоритма к решению. Укажем некоторые условия получения сбалансированного режима, его существования, иллюстрируя отдельные положения примерами простейшей ЭС. [44, 61]

Сходимость и существование решения. Система УУН является нелинейной относительно напряжений в узлах схемы и близка к линейной при расчете режимов с малыми нагрузками, то есть режимов, далеких от предельного по статической ус­тойчивости. Нелинейность УУН не способствует сходимости к решению. Чем боль­ше электрические нагрузки, тем сильнее проявляются нелинейные свойства этой системы и тем хуже сходимость итерационного процесса к решению.

Исследуем влияние параметров схемы и нагрузки ЭС на сходимость итера­ционного процесса получения решения [61]. Для этого рассмотрим схему сети (рис. 8.4) с активной нагрузкой Р в конце линии, обладающей только активным сопротивлением R (проводимостью g).

Рис. 8.4. Пример электрической сети

Связь между напряжением начала и конца линии можно выразить соотно­шением закона Ома:

(8.71)

Пусть напряжение балансирующего узла U_б = 11,0 кВ и R = 5,0 Ом. Пред­варительно исследуем сходимость простого итерационного процесса при различ­ных значениях Р, приняв в соответствии с критерием (8.19) допустимую точность решения ε = 0,01 кВ.

1. Примем Р = 3,0 МВт. Зададим начальное приближение U⁽⁰⁾ = 10,0 кВ.

Тогда

т. е. итерационный процесс сошелся после трех итераций.

2. Увеличим мощность нагрузки до Р = 4,0 МВт. Выполнив аналогичные вычисления, получим:

т.е. итерационный процесс сошелся только после пятой итерации. Очевидно, что при неизменном R сходимость будет ухудшаться по мере увеличения нагрузки Р.

Отметим что данный режим с повышенной нагрузкой существует, однако для ЭС с U_НОМ =10 кВ не является допустимым из-за низкого значения напряжения U.

3. Примем чрезмерную для сети 10 кВ нагрузку Р = 10,0 МВт. Тогда

и т. д. Видно, что итерационный процесс расходится, а установившегося режима при данной нагрузке сети и протяженности линии не существует.

4. Рассмотрим сходимость итерационного процесса при различных значени­ях сопротивления R. Вернемся к исходной нагрузке Р = 3,0 МВт и примем теперь R = 7,0 Ом.Тогда будем иметь:

т. е. с ростом сопротивления линии R количество итераций увеличилось с трех до пяти. В общем случае сходимость итерационного процесса будет ухудшаться по мере роста сопротивления линии.

5. Увеличим теперь сопротивление линии до R = 15,0 Ом. Тогда

т. е. итерационный процесс расходится, а режим рассматриваемой сети при таком сопро­тивлении линии и мощности нагрузки не существует, т. к. протяженность ВЛ — 10 кВ чрезмерно велика (около 25—30 км).

Таким образом, применительно к отдельной линии электропередачи с фик­сированной протяженностью (сопротивлением) можно получить предельную мощность, для которой существует установившийся режим. И наоборот, передача заданной мощности может быть осуществлена по линии, сопротивление которой не превосходит определенного значения. Сочетание названных параметров режи­ма и схемы образует двухмерную область параметров θ, в пределах которой ите­рационный процесс сходящийся и существует установившийся режим.

Получим для рассматриваемого примера граничное условие, при котором итерационный процесс еще сходится. Из выражения (8.71) имеем:

или

Отсюда итерационный процесс решения (8.71) будет сходиться, если

(8.72)

Для рассматриваемого примера (8.71) при граничном условии 4PR = .мож­но определить минимальное напряжение , при котором существует элек­трический режим.

Для данной ЭС (рис.8.4.) с сопротивлением 5,0 Ом и напряжением источни­ка U₆ = 11,0 кВ итерационный процесс решения уравнения установившегося ре­жима (8.71) сходится (при принятых условиях U^(o)=10,0kB, точность ε = 0,01кВ) к U = 5,73kB за 24 итерации и в пределе к U₁ = 5,5кВ, если нагрузка не превышает 6,05 МВт. Для исходной нагрузки Р = 3,0 МВт сопротивление линии не должно превышать R = = 10,08 Ом и т. д. Таким образом, име­ется множество сочетаний параметров Р и R, образующих предельный режим, с минимальным напряжением U = 5,50 кВ, удовлетворяющих уравнению (8.71).

Обобщая результаты анализа для рассматриваемой ЭС, можно согласно ус­ловию (8.72) ограничить область θ, в которой находятся решения уравнения (8.71), именуемой областью существования режима (рис. 8.5).

Заметим, что электрические нагрузки реальных ЭС ограничиваются рядом режимно-технических условий, например, по допустимому току, напряжению и др. Если принять для данной ЭС минимально допустимое значение напряжения U равным 9,0 кВ, то предельная нагрузка сети составит 3,5 МВт, а итерациооный процесс решения (8.71) сходится за четыре итерации.

Рис. 8.5. Область допустимых режимов ЭС переменного тока: 1— U₆=11 кВ;2 — при U_б > 11 кВ;3 — при U₆ < 11 кВ

Из граничного условия (8.72) также следует, что увеличение напряжения балансирующего источника расширяет область сходимости (область существова­ния режима), т. е. область применения данной ЭС расширяется за счет возможно­сти увеличения ее протяженности (радиуса действия) R и передаваемой мощности (нагрузки) Р (рис. 8.5).

Таким образом, сходимость итерационных процессов существенно зависит от параметров схемы и параметров режима. По мере утяжеления режима (увели­чения нагрузки или протяженности линии) сходимость решения уравнения (8.71) ухудшается.

Сходимость итерационных процессов зависит также от качества задания (точности выбора) начальных (нулевых) приближений напряжений в узлах и ме­тода решения. Чем ближе к истинным (искомым) принятые начальные приближе­ния напряжений, тем быстрее и надежнее сходится итерационный процесс.

В общем случае существование решения уравнений установившегося ре­жима определяется в результате итерационного расчета. При этом, если итераци­онный процесс сходится, то решение, естественно, существует. Однако если ите­рационный процесс не приводит к решению, то отсюда не следует несуществование последнего [44]. В такой ситуации необходимо использовать другой метод, применительно к конкретной задаче обладающий лучшей сходимостью.

Сходимость и метод решения. Рассмотрим данные положения примени­тельно к методу Ньютона. В сравнении с зейделевской процедурой метод Ньюто­на характеризуется высокой сходимостью к решению. Вместе с тем метод чувст­вителен к качеству исходных значений напряжений в узлах. Сходимость метода гарантируется, если якобиан системы уравнений не равен нулю и начальные при­ближения напряжений выбраны достаточно близко к решению. В этих условиях сходимость достигается, как правило, за 3—4 итерации независимо от размера системы уравнений. В то же время эти условия не обеспечивают сходимость ме­тода Ньютона с любых начальных приближений переменных при расчете устано­вившихся режимов даже в некоторой области θ, в которой якобиан системы не равен нулю.

Проиллюстрируем высокую сходимость метода Ньютона. Преобразуем вы­ражение (8.71) к виду УУН в форме баланса токов, поделив его на R=1/g. Запи­шем уравнение в форме невязок

(8.73)

Приняв данные поз. 2,запишем (8.71) в виде

Контроль сходимости выполним по критерию (8.18), η = 0,002 кА.

При начальном приближении U⁽⁰⁾ = 10,0 кВ на первой итерации получим:

У точним решение на второй итерации:

т. е. решение получено уже на второй итерации, методом Якоби — на пятой итерации. Вместе с тем режим, близкий к предельному Р = 6,0 МВт (Р < Рпр = 6,05 МВт ), полу­чен за четыре итерации (табл. 8.1), методом Якоби — за 15 итераций. Отметим уменьше­ние производной уравнения по мере приближения к решению. Малое ее значение может рассматриваться в качестве показателя близости режима к предельному.

Таблица 8.1

Итерационный процесс по Ньютону

Неоднозначность и единственность решения УУН. Для наглядности ана­лиза представим данное уравнение графически, преобразовав зависимость для то­ков (8.73) в виде параболы УУН (8.15) баланса мощностей (рис. 8.6)

(8.74)

или по данным поз. 2 имеем

Известно, что квадратное уравнение в общем случае имеет два решения. Нелинейные УУН имеют, как правило, несколько решений. Поэтому задача за­ключается в том, чтобы исследовать единственность решения для заданной мощ­ности Р при напряжении U, лежащем в заданной области [44].

Если принять U⁽⁰⁾ <U_min = 5,5 кВ, то итерациооный процесс сходится к левому корню

U^’ =2,ЗОкВ,апри U⁽⁰⁾ >U_min получим правый корень или приемлемое реше­ние U^” =8,70 кВ, т. е. решение УУН (8.74) неоднозначно и зависит от принятых на­чальных приближений (рис. 8.6). Неоднозначность решения означает, что для каждого значения Р в области aa₁d₁d существуют два решения. Прямая Р = Р₁= const пересекает кривую установившегося режима в точках 1 и 2, т. е. для Р₁ существуют два решения U^’ и U” , удовлетворяющие уравнению установившегося режима (8.74). Для любого значения Р меньше предела передаваемой по линии мощности существует два решения с U < U₆ / 2 и с U > U₆ / 2. Чем ближе мощность к предельной Р_НБ, тем ближе эти реше­ния (точки 3 и 4). При Р = Р_нб оба решения сливаются в одно (точка 5 при U = U_Б / 2).

Левее прямой U = U₆/2 для любых Р < Р_Нб (область аа₁б₁б, производная δР/δU>0) и правее прямой U = U₆/2 для любых Р<Р_н6 (область cc1d₁d, δР/δU<0) существует единственное решение уравнения (8.74). Отметим, что при мощности, близкой к предельной Р„₆, производная δР/δU стремится к нулю, а реше­ние уравнения становится неустойчивым (сходится медленно или расходится). Смена знака производной свидетельствует о прохождении предельного режима.

Сходимость, чувствительность и слабоустойчивость решений. Обра­тимся к системе уравнений. Сходимость решения УУН ухудшается по мере при­ближения матрицы коэффициентов системы к плохо обусловленной. Как правило, плохо обусловленная матрица коэффициентов характеризуется относительной малостью определителя — если он мал по сравнению с элементами этой матрицы, решение системы уравнений очень чувствительно к ошибкам округления в про­цессе вычислений [44, 59].

Рис.8.6. Уравнение установившегося режима сети постоянного тока из двух узлов

Приведем один из крайних случаев:

(8.75)

Определитель этой системы det А = -1. Точное решение системы (8.75) дает Х₁ = -2; X₂ = 3 Если коэффициент при X₁ в первом уравнении системы (8.75) изменить всего лишь на -0,1 %, то есть уменьшить до 1999, отразив тем самым погрешность округления, то реше­ние системы уравнений дает X₁ =10; X₂ = -3, а если этот же коэффициент увеличить на +0,1 %, т е. до 2003, то решение будет X₁ = 2; X₂ = 1.

Сравнение этих ситуаций показывает, что даже очень малое изменение од­ного из коэффициентов (параметров схемы, нагрузок ЭС) может привести к суще­ственной погрешности в решении. Решение системы чувствительно к изменению и погрешности данных. Система уравнений, для которой возникает подобная про­блема, и называется плохообусловленной (слабоустойчивой).

Численная оценка степени плохой обусловленности очень трудоемка. На практике плохая обусловленность выявляется по некоторым внешним признакам задачи. Если диагональные элементы малы по сравнению с некоторыми недиаго­нальными, то решение системы уравнений может оказаться затруднительным. Параметры электрической сети могут различаться по величине в несколько сотен и даже тысяч раз при учете устройств продольной компенсации, шиносоединительных выключателей, линий электропередачи очень малой протяженности либо сопротивлений средней обмотки трехобмоточных трансформаторов и автотранс­форматоров. В этих случаях плохо обусловленной является не только матрица проводимостей Y, но и матрица Якоби. Элементы матрицы производных зависят как от параметров сети, так и от параметров режима. Поэтому плохая обуслов­ленность матриц Якоби может быть следствием как очень сильного различия па­раметров сети, так и близости рассматриваемого режима к предельному по суще­ствованию или апериодической устойчивости.

Ниже приведены примеры формирования и решения УУН различных форм и записи применительно к простейшим ЭС переменного и постоянного тока. Вы­полнен анализ решений при различных постановках задачи преимущественно ньютоновскими методами.

Вопросы для самопроверки.

1. Почему расчеты режимов сложных ЭС необходимо выполнять на ЭВМ? Какие средства для этого используют?

2. Какова цель электрического расчета? Как задача формируется математически?

3. Почему в расчетах установившихся режимов преимущественно исполь­зуют уравнения узловых напряжений?

4. Что обуславливает нелинейность уравнений узловых напряжений?

5. Каковы свойства матрицы собственных и взаимных проводимостей? Как определить их элементы?

6. Как получить УУН баланса мощностей из уравнений баланса токов?

7. Какие формы записи имеют УУН? Как получить УУН в прямоугольной и полярной системах координат?

8. Что такое небаланс (невязка) УУН? Как вычислить активные и реактивные со­ставляющие токов нагрузок в прямоугольной и полярной системе координат?

9. Какие типы узлов различают при расчете установившихся режимов ЭЭС?

10. Как учитываются опорные генераторы узлы при решении УУН в прямо­угольных и полярных координатах?

11. Почему изменяется размерность системы уравнений при переходе от комплексных УУН к вещественным?

12. С какой целью для ЭС переменного тока УУН записывают в системе по­стоянного тока?

13. Какова общая итерационная формула решения систем нелинейных уравнений различными методами? Каким образом учитываются различия мето­дов?

14. Каковы критерии окончания (точности) решения систем нелинейных уравнений? Какой критерий наиболее строгий?

15. В каком случае можно получить точное решение УНН? Как связаны точность решения нелинейных УУН и величины небалансов в узлах?

16. Каким образом разложение УУН в ряд Тейлора отражает точность мо­делирования уравнений?

17. Чем отличаются методы решения УУН нулевого, первого и второго порядков?

18. Как получить рекуррентную формулу метода z-матрицы? В какой си­туации наиболее целесообразно его использовать?

19. Как решить систему нелинейных УУН методом Зейделя? Запишите ре­куррентную формулу метода.

20. Что характеризует эффективность метода Зейделя и широкое его приме­нение в практических алгоритмах расчета режимов?

21. Как влияет тяжесть режима (близость режима к предельному) на сходи­мость при расчете методом Зейделя?

22. Какова идея и область применения метода Ньютона первого порядка?

2 3. Как образуется система линеаризованных уравнений, решаемых в методе Ньютона?

24. Каковы достоинства и недостатки решения систем нелинейных уравне­ний методом Ньютона?

25. В чем суть метода Ньютона второго порядка? Почему метод обладает высокой сходимостью?

26. Какие существуют алгоритмы решения квадратичных уравнений в ме­тоде Ньютона второго порядка?

27. Какие преимущества записи УНН баланса мощностей? Чем вызвано снижение трудоемкости вычисления и формирования матрицы Якоби при исполь­зовании УУН баланса токов в прямоугольных координатах?

28. Как учитываются опорные узлы и изменяются вычислительные схемы при решении УУН в прямоугольных и полярных координатах?

29. В чем заключается второй этап расчета установившихся режимов? За­пишите выражения для вычисления токо- и потокораспределения через напряже­ния узлов.

30. Как вычисляется мощность источника, базисного по напряжению и ба­лансирующего по мощности?

31. Какими методами решается СЛУ в алгоритмах расчета режимов? Какие свойства матрицы коэффициентов необходимо учитывать?

32. Какова связь сходимости итерационного процесса решения уравнений установившегося режима, передаваемой мощности (дальности электропередачи) и существования решения?

33. В чем заключается неоднозначность и единственность решения уравне­ний установившегося режима?

34. Какова зависимость сходимости итерационного решения от свойств матрицы коэффициентов системы уравнений?

35. Какая мощность называется предельной? Каковы количественные кри­терии ее получения?

36. В чем причина плохой обусловленности уравнений и каково ее влияние на точность и сходимость решения уравнений установившегося режима?

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ЗАДАЧА 8.1

Определить напряжение в узле 1 простейшей ЭС 11О кВ переменного тока (рис. 8.7) методом Зейделя. Сопротивления даны в Ом, проводимости в См, мощ­ности в MB А, напряжения в кВ.

Решение

Подстановка и алгоритм решения в соответствии со схемой замещения ЭС (рис. 8.7 а) нужно решить УУН вида (8.1):

(а)

или в форме небалансов (8.6) для вещественных составляющих:

(б)

Согласно (а)

Отсюда для составляющих U, = V\ + U* получим рекуррентные формулы вида (8.27):

(в)

где

О пределим коэффициенты полученных выражений. Продольная проводи­мость ветви

Рис. 8.7. Принципиальная (а) и схема замещения (б) электрической сети

Собственная проводимость узла 1 определяется с учетом поперечной про­водимости:

Для улучшения наглядности расчетов здесь и в дальнейшем емкостная про­водимость jB_c/2 не учитывается.

Расчетное сопротивление схемы:

С учетом данных об ЭС (рис 8.7,6) из (б) получим следующие УУН:

(г)

решаются эти уравнения по рекуррентным формулам (в):

(Д)

где вычисляется с учетом найденного на этой же итерации

Примем начальное приближение U⁽⁰⁾=110 + j0 кВ, наибольшую погреш­ность балансирования уравнений η = 0,003 кА (в данном случае меньше на два по­рядка активной составляющей тока нагрузки η = 0,01Р₁/U_HOM). При подстановке

в УУН (г) получим = 0,073 кА, = 0,218 кА, которые не удовлетворяют критерию (8.18).

Итерация 1. Подставив , в выражение (д), получим

В соответствии с итерационной процедурой Зейделя найденное приближе­ние используем для расчета очередной переменной:

По найденному значению = 113,63- j3,52 = 113,68- e^-j1,77 определим погрешность решения УУН (д) на первой итерации: =0,00990; = 0,000386 кА, что превышает допускаемое значение η.

Итерация 2. Аналогично по рекуррентным выражениям (д) получим:

С учетом вычисленного напряжения

ے-1,782° кВ, имеем = -0,00822 ;

ω'⁽²⁾ = -0,00425 кА.

Формально решение не закончено. Сравним его с решением, полученным по программе REGIM(табл. 8.2) [50]:

Таблица 8.2 Расчет установившегося режима на ЭВМ

ЗАДАЧА 8.2

Определить по данным задачи 8.1 напряжение U₁, в ЭС (рис. 8.7) методом Z_y -матрицы. Допустимый небаланс η = 0,003 кА.

Решение

Установившийся режим ЭС (рис. 8.7) описывается УУН (8.1):

Использовав подстановку параметров Y = g-jb, S = P + jQ, U = +jU_i", получим УУН с действительными коэффициентами (8.6):

(*)

С учетом данных с параметрами схемы и нагрузок, перепишем уравнения в форме небалансов:

(**)

Итерация 1. Приняв =110 + j0 кВ, из (**) получим начальные значе­ния невязок

превышающие допустимую величину η = 0,003 кА. Токи в правых частях урав­нений (*):

С учетом составляющих вектора J⁽°⁾ перепишем уравнения (*) в матричном виде: решение

получим с помощью Z_y- матрицы (Z_y = Y^-1);

(***)

Значениям U^(1> соответствуют невязки (**):

Итерация 2. Уточнив черезU правые части уравнения (*)

по матричному выражению вида (***) получим

принимаемое за решение, так как соответствующие напряжению и, значения небалансов

не превышают допустимой величины (со, < 0,003 кА).

ЗАДАЧА 8.3

Определить напряжение U₁ в рассматриваемой ЭС (рис. 8.7) методом Нью­тона, решив УУН в форме баланса токов; допустимый баланс η=0,003 кА.

Решение

Запишем в функции невязок УУН, полученные в предыдущем примере;

(*)

П риняв за исходное приближение напряжения его номинальное значение U₁ =110+j0 кВ имеем начальные невязки

значения которых больше допустимых(ω_i > 0,003).

Итерация 1. Выполнив операцию дифференцирования уравнений (*) по искомым переменным , получим выражения элементов матрицы Якоби:

При принятом и,*²'=100 +J0 кВ имеем матрицу Якоби

и соответствующую линеаризованную систему УУН:

решение которой определяет поправки переменных

Первое приближение найдем на внешнем шаге метода Ньютона:

Подстановка в следующие значения невязок:

Оба уравнения сбалансированы с достаточной точностью ω_y<0,003),полу­ченные составляющие напряжения

являются решением рассматриваемых нелинейных УУН.

ЗАДАЧА 8.4

Решить рассматриваемую задачу (рис. 8.7) методом Ньютона применитель­но к УУН в форме баланса мощностей.

Допустимый небаланс η = 0,03 МВт (Мвар).

Решение Для заданной двух узловой ЭС (рис. 8.7) перепишем УУН (8.9) в виде

(•)

С учетом параметров схемы ЭС (задача 8.1)

Представим УУН (*) в виде небалансов:

Искомыми переменными небалансов являются модуль U₁ и фаза δi напря­жения U₁

Итерация 1. Примем начальное приближение: =110 кВ, =0°. Из (**) имеем вектор небалансов

составляющие которого превышают допустимые значения (η = 0,03).

Продифференцировав уравнения (**) по искомым переменным, получим элементы матрицы Якоби:

(***)

При = 110ے0,0⁰ кВ имеем матрицу Якоби:

Систему линеаризованных уравнений можно записать в матричной форме: