2.5.1. Баланс энергии в столбе дуги

Пренебрегая очень небольшой долей энергии, получаемой ио­нами при их ускорении в продольном поле (ионный ток мал), можно считать, что вся энергия, отбираемая дуговым разрядом от внешнего источника, в столбе дуги переходит непосредственно к электронам плазмы. Эта энергия расходуется на возбуждение и ионизацию молекул газа, а также на повышение их кинетической энергии при упругих столкновениях.

Баланс мощности для единицы длины столба дуги имеет вид

(2.53)

где Р_И, Р_T и Р_K - потери мощности столба дуги соответственно из­лучением, теплопроводностью и конвекцией.

Отношение P_И/(P_T + Р_К) зависит от параметров режима дуги (I, U, l_д), формы столба дуги и рода атмосферы (газовой среды).

Для слаботочных дуг, ограниченных стенками, В. Эленбаас и Г. Геллер пренебрегли величинами Р_И, Р_K и рассчитали баланс энергии. При этом столб дуги рассматривался как цилиндрический сплошной токопроводящий стержень с удельной электрической проводимостью σ, в котором вся подводимая к единице объема электрическая энергия (джоулева теплота) jE = σЕ² отводится за счет теплопроводности на охлаждаемые стенки разрядной трубки радиусом R. Подобные условия часто встречаются при практиче­ском использовании различного вида сварочной дуги. Даже если дуга горит в свободной атмосфере или обдувается потоком газа, такая модель дает представление о состоянии в токопроводящем канале, поскольку температура на оси дугового разряда не очень чувствительна к внешним условиям. Так, при атмосферном давле­нии в дуговом разряде (I = 20... 100 А) температура аргоновой плазмы не превышает 11 000... 12 000 К. Потери на излучение в большинстве случаев заметно уступают выносу энергии из столба дуги за счет теплопроводности, поэтому ими можно пренебречь.

Баланс энергии плазмы описывается уравнением теплопровод­ности с энерговыделением в виде джоулевой теплоты (уравнение Эленбааса - Геллера):

(2.54)

где λ - теплопроводность.

Закон Ома для равновесной плазмы выражается формулой

(2.55)

Запишем граничные условия к уравнениям (2.54), (2.55): при r = R температура Т = Т_с, где Т_с - температура стенки; при r = О производная dT/dr = 0 вследствие симметрии. Температура токопроводящей плазмы гораздо выше температуры стенки, так что, по существу, можно положить Т_с = 0. Ток дуги равен

(2.56)

Сложность решения уравнения (2.54) заключается в нелиней­ной зависимости (σ (Т) и λ (Т)) свойств плазмы от температуры. Далеко не всегда функции σ(Т) и λ(T) могут быть представлены в виде зависимости, допускающей аналитическое решение уравне­ний (2.54), (2.55). Нелинейность уравнения (2.54), связанная с функцией λ(Т), устраняется известным в теплофизике приемом введения вместо температуры плазмы Т тепловой функции (тепло­вого потенциала)

(2.57)

После формальной замены температурыТ на функцию S урав­нение (2.54) принимает вид

(2.58)

Для выбранного газа тепловая функция S однозначно связана с температурой плазмы соотношением (2.57).

Каналовая модель. Предположим, что температура Т_к и удель­ная электропроводность σ_к постоянны в поперечном сечении дуги внутри токопроводящего канала эффек­тивного радиуса r₀ и при r ≤ r₀ имеет значения: T_к = T₀, σ _к = σ₀ Тогда дуга представлена двумя областями: прово­дящей при

0 ≤ r ≤ r₀ и непроводящей (σ = 0) при r₀ ≤ r ≤ R. Каналовая мо­дель сводится к замене истинной зави­симости σ(r) ступенчатой, показанной на рис. 2.19 штриховой линией. В этом приближении выражение (2.56) для тока дуги приобретает вид

(2.59)

а уравнение (2.58) в непроводящей об­ласти легко интегрируется.

В проводящей области в соответ­ствии с принятыми допущениями теп­ловой потенциал S₁ – S₀ постоянен.

Используя граничные условия S₁ (r₀) = So = S₂(r₀₎ и S₂(R) = 0, ре­шение уравнения (2.58) в непроводящей зоне можно привести к виду

(2.60)

Отсюда найдем тепловой поток q на стенку трубки и равное ему выделение мощности Р в единице длины столба дуги:

(2.61)

Уравнения (2.57), (2.59) и (2.61) содержат три неизвестные ве­личины: температуру на оси дуги, эффективный радиус электро­проводящего канала r₀ и напряженность электрического поля Е (ток I и радиус канала R являются задаваемыми параметрами).

Для получения недостающего соотношения М. Штеенбек предло­жил использовать принцип минимума мощности. При заданных I и R в трубке должны установиться (в рамках каналовой модели) та­кие температура плазмы T₀ и эффективный радиус канала г r₀, что­бы мощность Р и Е = P /I оказались минимальными. Известно, что для дуг в парах металлов при I = 100... 1000 А до 90 % энергии столба дуги теряется излучением. Спектр излучения таких дуг близок к спектру абсолютно черного тела, т. е. они представляют собой эффективные излучатели. Для краткости будем далее такие дуги называть металлическими или Ме-дугами.

Считая дугу цилиндрической по форме с постоянной плотно­стью тока по сечению канала, К.К. Хренов (1949) принял баланс мощности столба дуги в следующем виде (каналовая модель дуги):

(2.62)

где σ _иT⁴ - удельное излучение по закону Стефана - Больцмана.

Пример 2.5. Сравнить потери излучением (Р_и) и теплопроводностью (Р_т) столба «железной» дуги при T = 5000 К, если Q_Fe = 50 • 10^-20 м ; ΔT/ Δ х = = 10⁷ К/м; А_Fe = 54; σ _и = 5,7 • 10 ^-8 Вт/(м² • К⁴).

Решение. Используя формулы (2.62) и (2.42), получаем

что подтверждает приемлемость каналовой модели.