3.1 Модели и характеристики случайных сигналов

Для того, чтобы наиболее точно исследовать поведение САУ, необходимо располагать как можно более точными данными о приложенных к системе воздействиях. Предельно точным описанием этих воздействий является задание их в виде детерминированных функций времени. Однако последнее не всегда возможно либо по недостатку сведений, либо в связи с самой природой воздействия. В этих случаях воздействия на САУ следует рассматривать как случайные функции времени и, соответственно, описывать их статистически. При наличии случайных воздействий на САУ ее выходная величина будет также изменяться случайным образом, т.е. тоже будет случайной функцией времени.

Случайной функцией называют функцию независимой переменной, при каждом значении которой соответствующее значение функции является случайной величиной. Случайную функцию рассматривают как бесконечную совокупность случайных величин, зависящую от одной или нескольких независимо изменяющихся переменных. Случайные функции, независимой переменной которых является время, называют стохастическими процессами (СП).

Случайную функцию, зарегистрированную в той или иной форме по результатам опыта, называют реализацией случайной функции. На рис. 3.1 показаны графики реализации случайной функции х(t).

Рисунок 3.1

По типу законов распределения координат случайных функций различают: нормальные (гауссовские), пуассоновские, равномерной плотности и другие случайные процессы.

По наличию (отсутствию) зависимости вероятности распределения координат случайной функции от ее предыстории различают марковские и немарковские процессы. Если поведение СП в последующие моменты времени не зависит от его значений в предшествующие моменты времени, а определяется значением в настоящий момент времени и условной вероятностью перехода к последующему моменту времени, то такой процесс называют марковским.

По зависимости характеристик СП от начала отсчета времени различают стационарные и нестационарные СП.

По наличию (отсутствию) связи между средним по аргументу и средним по множеству различают эргодические и неэргодические СП. Случайный процесс x(t) называют эргодическим процессом, если все его статистические свойства могут быть определены по одной-единственной реализации x₁(t).

В инженерной практике СП исследуют методами корреляционного и спектрального анализа. Корреляционный анализ основан на прямом рассмотрении случайных сигналов во времени. Спектральный анализ основан на рассмотрении частотных составляющих этих сигналов.

Наибольшее распространение получили характеристики СП, аналогичные числовым характеристикам случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее значение квадрата СП, корреляционная функция, спектральная плотность и др.

Математическое ожидание и дисперсия являются важными характеристиками СП, но они не дают достаточного представления о том, какой характер будут иметь отдельные реализации СП. Чтобы в какой-то мере охарактеризовать внутреннюю структуру СП, т.е. учесть связь между значениями СП в различные моменты времени или, иными словами, учесть степень изменчивости СП, вводят понятие корреляционной (автокорреляционной) функции СП.

Рисунок 3.2

Если используется отдельная реализация стационарного СП (рис 3.2), то корреляционной функцией (КФ) стационарного СП называют среднее во времени значение за промежуток времени от произведения случайных величин и , взятых в любые два момента времени СП, отличающихся друг от друга на определенный промежуток времени :

. (3.1)

Физический смысл КФ заключается в том, что она является мерой взаимной связи между значениями и для одной и той же реализации СП. КФ может быть вычислена или получена экспериментально с помощью коррелографа. Для характеристики связи двух различных СП используют взаимную КФ.

Для характеристики стационарных СП введено понятие о спектральной плотности S( ). Спектральная плотность и КФ связаны формулой прямого преобразования Фурье:

. (3.2)