2.5.1 Первый метод Ляпунова

Первый метод применим только для исследования устойчивости в малом линеаризуемых систем (см.3.1). Ляпунов впервые доказал допустимость суждения об устойчивости в малом нелинейной системе по устойчивости линейной системы, полученной при линеаризации исходной нелинейной системы. Далее, он доказал также, что в критических случаях, когда линеаризованная система находится на границе устойчивости, об устойчивости исходной нелинейной системы ничего нельзя сказать: она может устойчива или неустойчива в зависимости от конкретного вида нелинейности.

Аналитически определение устойчивости по Ляпунову формулируется следующим образом: невозмущённое движение будет устойчиво, если при любом наперёд заданном положительном числе А, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число так, что для всех возмущений, удовлетворяющих условиям , возмущённое движение ,начиная с некоторого ,будет удовлетворять неравенству (см. рис. ).