4.3.2 Классический метод вариационного исчисления

Для изучения переходных процессов в САУ используют следующий функционал

, (4.1)

где x=x(t)- траектория обобщенного движения; - скорость движения; и - начальный и конечный моменты времени. Условие существования экстремума функционала J определяют следующим образом. Варьируют подынтегральную функцию x(t) и её производную (t) и определяют приращение интеграла (4.1) разложением его в ряд Тейлора. Отбрасывая малые члены ряда, получают первую вариацию функционала

. (4.2)

Необходимым условием существования экстремального значения интеграла J (4.1) является равенство нулю его первой вариации . Для нахождения экстремума функционала J при заданных граничных условиях =0 и =0 приравнивают к нулю выражение (4.2)

. (4.3)

Это равенство должно выполняться для любой вариации, которая удовлетворяет граничным условиям и . Интегрируя по частям (4.3), находят ,что равенство нулю возможно лишь при условии

. (4.4)

Уравнение (4.4) называют дифференциальным уравнением Эйлера. Постоянные интегрирования этого уравнения определяют из граничных условий. Решение уравнения Эйлера является необходимым и достаточным условием экстремума интеграла (4.1) при заданных граничных условиях. Для определения соответствия экстремума функционала минимуму или максимуму можно ограничится проверкой знака второй производной (условие Лежандра): при - минимум; при - максимум функционала.

Использование классического метода вариационного исчисления предполагает, что искомые функции оптимальных процессов являются непрерывными и на координаты выхода и управлений не накладываются ограничения. Поскольку на практике различные ограничения накладываются не только на ОУ, но и на САУ, то возможности использования рассмотренного метода ограничены.