2.5.3 Определение функций Ляпунова методом Лурье-Постникова

Для одноконтурной САУ с единичной ОС (рис. ) и с НЭ, статическая характеристика (рис. ) которого удовлетворяет условиям и z(0)=0, V-функции могут быть взяты в форме, предложенной Лурье А.И. и Постниковым В.Н.,

V =L + ,

где L -квадратичная форма фазовых координат следующего вида

L .

Рисунок 2. В свою очередь, и -коэффициенты; при этом .

Рисунок.2.

С помощью V-функций такого типа удаётся решить многие практические задачи, связанные с анализом устойчивости нелинейных САУ.

Пример. Оценить устойчивость равновесия САУ (рис.2. ), передаточная функция линейной части которой

.

Уравнения движения САУ могут быть записаны в виде

При движение САУ можно описать одним уравнением первого порядка

Согласно с методом Лурье-Постникова функцию Ляпунова записывают в виде

.

Соответственно её производная

При производная отрицательна во всём фазовом пространстве, если . Таким образом, достаточным условием асимптотической устойчивости в целом САУ первого порядка с инерционным звеном является положительность коэффициентов усиления линейной части САУ. При этом статическая характеристика НЭ может иметь произвольный вид и лишь не должна выходить за пределы первого и третьего квадратов. Она может иметь также разрывы, но должна быть однозначной ( такие САУ называют абсолютно устойчивыми).