2.5.2 Второй метод Ляпунова

Второй метод Ляпунова, называемый прямым методом, является наиболее общим методом исследования устойчивости любых нелинейных систем. Он даёт достаточные условия устойчивости, т.е. определяет часть области устойчивости исследуемой системы управления.

Согласно прямому методу Ляпунова в рассмотрение вводится специальная функция V , заданная в фазовом пространстве и обладающая следующими свойствами:

1) эта функция непрерывна вместе со всеми своими частными производными первого порядка в некоторой открытой области, содержащей начало координат,

2) в начале координат функция V принимает нулевое значение,

3) функция является знакоопределенной.

Ляпуновым доказана справедливость следующего утверждения: если дифференциальные уравнения ( ) движения таковы, что можно найти знакоопределённую функцию V , производная которой в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с V , или тождественно равной нулю, то равновесие системы в начале координат устойчиво.

Если производная есть знакоопределённая функция противоположного знака с V , то равновесие системы в начале координат асимптотически устойчиво.

Большие трудности представляет подбор V-функций (функций Ляпунова) при практическом использовании прямого метода Ляпунова. К сожалению, нет однозначных способов построения этих функций и приходится в значительной степени полагаться на интуицию. Это обстоятельство существенно ограничивает практическое применение прямого метода Ляпунова.