4.3.3 Принцип максимума

Метод принципа максимума разработан Л.С. Понтрягиным и является расширением классического вариационного исчисления на случай, когда управляющие воздействия ограничены и описываются кусочно-непрерывными функциями. Задачей оптимизации тогда является определение оптимальных управлений и траекторий из условия нахождения экстремума функционала

(4.5)

для заданных уравнений объекта управления

(4.6)

при начальных и конечных значениях и , а также заданном интервале времени с учетом ограничений < и .

В общем случае ММ объекта оптимизации имеет вид Коши

или

(4.7)

При оптимизации объекта требуется определить вектор управляющего воздействия с учетом ограничений из условия минимума функционала

. (4.8)

В рассмотрение вводят вектор вариации траектории

.

Закон изменения вариации, являющейся бесконечно малой величиной, выводят из уравнения в вариациях

. (4.9)

С помощью функции Гамильтона для неклассических вариационных задач

, (4.10)

где , системы (4.7) и (4.9) записывают в виде системы канонических уравнений Гамильтона для неклассических вариационных задач, которые справедливы и для классических

, (4.11)

где .

Необходимые условия оптимальности управления формулируют следующим образом: чтобы управление и соответствующая ему траектория были оптимальны, необходимо существование ненулевой векторной функции , составляющие которой … удовлетворяли бы системе уравнений (4.11), чтобы при функция Гамильтона Н* достигла максимума при т.е.

,

а в конечный момент t=T выполнялись бы также соотношения

(4.12)

(при этом принимают ).

Следовательно, при оптимизации САУ с использованием принципа максимума составляют функцию Гамильтона (4.10) записывают уравнения (4.11), из которых находят оптимальные управления и . При этом решение задач оптимизации сводится к решению дифференциальных уравнений в многомерном пространстве. Расчет максимальной функции Гамильтона Н (u) определяет название метода. Этот метод применяют при синтезе максимально быстродействующих САУ.