1.3.2.3 Понятие о разностных уравнениях

Дискретные САУ описывают разностными уравнениями так же, как непрерывные системы дифференциальными уравнениями (ОДУ). Названные уравнения являются аналогами. Если скорость изменения непрерывной функции f (t) выражается её первой производной , то скорость изменения решетчатой функции f характеризуют её первой разностью , являющейся аналогом производной непрерывной

функции (рис.1.11).Разность второго порядка ,или вторая разность, . Разностью k-го порядка определяют по выражению . Соотношение между решетчатой функцией f и ее разностями различных порядков называют уравнением в конечных разностях или разностным уравнением. Линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами представляют в виде

, (1.1)

где x - известная дискретная функция;

у - искомая дискретная функция, которую находят решением разностного

уравнения.

Разностное уравнение k-го порядка аналогично дифференциальному уравнению k-го порядка. Последнее можно рассматривать как предельное выражение для разностного уравнения, когда период дискретности Т 0.

Методы решения разностных уравнений аналогичны методам решения ОДУ. Подобно тому, как преобразование Лапласа дифференциальных уравнений дает удобную инженерную методику анализа непрерывных систем, для дискретных систем разработаны специальные преобразования. Из них наибольшее распространение получили:

1) дискретное преобразование Лапласа;

2) z-преобразование.