5.2. Сложение гармонических колебаний.

Наиболее простым примером является сложение двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, каждое из которые можно представить в аналитическом виде x₁(t) = A₁sin (wt + j₁) и x₂(t) = A₂ sin (wt + j₂) и векторном виде (рис.5.3).

Поскольку оба слагаемых вращаются с одинаковой частотой, суммарный вектор также вращается с этой же частотой, т.е. результатом суммы x₁(t) и x₂(t) будет гармоническое колебание той же частоты, амплитуда которого находится как диагональ параллелограмма А_S, построенного на векторах А₁ и А₂:

; (5-2)

разность j₂-j₁ определяется из рис.5.3. Величина начальной фазы j результирующего колебания определяется из величины тангенса этого угла:

,

где А_Sy и А_Sх представляют собой проекции амплитуды суммарного колебания на оси Y и X соответственно. Как следует из рисунка, значение А_Sх равно сумме проекций на ось Х каждого из слагаемых колебаний:

А_Sх = Х₂ + Х₁ = А₂ cos j₂ + A₁ cos j₁ . (5-3)

Аналогичное выражение может быть получено и для суммарной проекции на ось Y ( для простоты Y - проекции на рис.5.3 не показаны):

А_{S y} = Y₂ + Y₁ = A₂ sin j₂ + A₁ sin j₁ . (5-4)

Тогда

. (5-5)

Таким образом, определены основные параметры суммарного колебания: амплитуда, частота и начальная фаза. Несколько сложнее найти сумму двух колебаний, если их частоты отличаются друг от друга. Практически интересным является случай, когда это различие незначительно, т.е. w₁= w₀ + W и w₂ = w₀ - W, причем W<< w₀ . Пусть для простоты амплитуды обоих колебаний и их начальные фазы одинаковы. Тогда x₁(t) = Asin(w₀ + W)t и x₂(t) = Asin(w₀ - W)t . Суммируя эти выражения, получим

x₁(t)+ x₂(t) = A{sin(w₀ + W)t + sin(w₀ - W)t} = [2AcosWt] sin w₀t, (5-6)