Пособие полное (исправленное)

7.1. Классический метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях

Метод основан на классическом способе решения линейных дифференциальных уравнений, при котором:

составляется дифференциальное уравнение с одной переменной;
записывается однородное дифференциальное уравнение, которое преобразуется в характеристическое (производные заменяются произвольной переменной, степени которой зависят от порядков производных);
определяются корни характеристического уравнения;
записывается ответ в виде суммы общего решения (экспонент) с неизвестными постоянными и частного решения уравнения;
по зависимым начальным условиям определяются неизвестные постоянные.

В теории цепей данный метод применяется нулевых и ненулевых начальных условий при включениях (выключениях) постоянного напряжения, гармонического напряжения, импульсов прямоугольной формы, а так же при переключениях элементов при перечисленных сигналах. При составлении дифференциальных уравнений по законам ТЭЦ применяют зависимости (1.1), (1.3), (1.5) для линейных элементов

Для индуктивности и ёмкости, как известно, можно использовать и обратные, т.е. интегральные соотношения.

Далее, в общем виде, показано применение классического метода анализа на типовых примерах.

Пример 1. Для эквивалентной схемы (рис 7.1) определить ток и напряжение при подключении постоянного источника энергии. Независимые условия нулевые.

E R

Рис. 7.1

Решение. В соответствии с общей методикой применения метода

Рисунок 7.2 качественно иллюстрирует подаваемый входной сигнал и получения зависимости.

E u, i

t t

u_L

Рис 7.2

Дополнительные замечания к примеру 2:

общее решение (экспонента) в ТЭЦ называют свободной составляющей, а частное - установившимся процессом. Установившийся процесс (решение при ) определяется обычными схемотехническими расчетами, зависящими от вида входного сигнала;

величина называется постоянной времени цепи. Хотя в соответствии с расчетом переходные процессы длятся бесконечно, обычно за критерий их завершения принимается время (3-6) _ц ;
нормированный переходной процесс при включении постоянного напряжения называется переходной характеристикой цепи (h(t)), а производная от этой величины называется импульсной характеристикой цепи (g(t)).

Для примера 1

Переходные и импульсные характеристики линейных цепей являются их важными временными характеристиками:

в анализе классическим методом можно упростить составление характеристического уравнения, для чего необходимо записать комплексное сопротивление схемы, например, для рассматриваемого примера , а затем заменить переменную ''j'' на переменную ''р''.

П ример 2. Для эквивалентной схемы (рис 7.3) в общем виде проанализировать переходной процесс при подключении постоянного источника энергии для напряжения на емкости. Независимые начальные условия нулевые.

Рис.7.3

Решение.

;

Поскольку две неизвестные постоянные, поэтому необходимо еще одно уравнение

Определяем переходной процесс из решения систем уравнений для известных начальных условий:

При добротности контура (рис 7.3) более 1/2 корни р_1/2 становятся комплексными, а переходной процесс - колебательным.

Пример 3. Для эквивалентной схемы (рис 7.1) в общем виде проанализировать переходной процесс для тока в цепи при включении гармонического источника напряжения . Независимые начальные условия - нулевые.

Решение. Так как характеристическое уравнение определяется схемой, используется часть решения примера 1:

Однако, установившийся ток для гармонического воздействия определяется методом комплексных амплитуд:

Используя начальные условия определяется неизвестная постоянная:

и записывается решение:

Пример 4. Для эквивалентной схемы (рис 7.1) в общем виде проанализировать переходной процесс для тока при подаче на вход прямоугольного импульса, амплитудой Е, длительностью t_имп. Независимые начальные условия нулевые.

Решение. Возможны два варианта анализа для этого случая:

анализируется схема на включение постоянного напряжения, определяется решение для интервала времени _.Затем определяются новые начальные условия для и проводится анализ для ''выключения'' источника ''энергии'';
импульс представляется в виде суммы положительного и отрицательного напряжения, причем отрицательное напряжение включается в момент времени t=t_имп.

Ответ на интервале будет получен при воздействии одного источника энергии, и при - от воздействия двух (принцип наложения).

Применим второй вариант и используем результаты решения примера 1.

Тогда для интервала времени решение имеет вид

Для интервала времени

где .

Пример 5. Для эквивалентной схемы (рис 7.4) в общем виде проанализировать переходной процесс для тока в цепи. На входе подключен источник постоянного напряжения.

Рис 7.4

Решение. Независимые начальные условия в цепи: . Однако, после переключения законы коммутации противоречат законам цепей, т.к. схема слишком идеализирована (некорректная). Поэтому, применяя принцип непрерывности потокосцепления, определяют новые (общие) начальные условия:

Далее анализ проводится по рассмотренной методике. Могут быть использованы результаты анализа подобной схемы (рис 7.1):

Содержание